[BZOJ3142][HNOI2013]数列-快速幂-数学

数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16

【样例解释】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

---

想了一中午都没想出来的神题……
看完题解表示窝太菜了QAQ

---

思路:
考虑那个神奇的条件$m*(k-1)<n$。
这代表着，至少有一种初始值可以满足，即使$k$天均增加$m$，也能保证最后价值小于$N$。

于是考虑差分，那么一个合法的差分序列$a$对答案的贡献是$n-\sum a_i$。
由于上述条件，这个贡献一定为正。

于是答案便是$\sum\limits_{所有合法的a}(n-\sum a_i)$。

注意到合法的$a$共$m^{k-1}$种，于是提出一项:
$ans=m^{k-1}*n-\sum\limits_{所有合法的a}\sum a_i$

然后，考虑每一项对于$\sum\limits_{所有合法的a}\sum a_i$的贡献。
对于$a_i$，它的贡献是:
$val_{a_i}=m^{k-2}\sum\limits_{a_i=1}^{m} 1=m^{k-2}*\frac{m(m+1)}{2}$

于是，答案可以化为:
$ans=m^{k-1}*n-(k-1)*m^{k-2}*\frac{m*(m+1)}{2}$

可以发现，这个式子正好可以巧妙地避开逆元。
于是完成了~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n,k,m,md;

inline ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%md;
        a=a*a%md;b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&md);n%=md;k%=md;m%=md;
    printf("%lld\n",qpow(m,k-2)*((n*m%md-(k-1)*((m*(m+1)/2)%md)%md+md)%md)%md);
    return 0;
}