[BZOJ1013][JSOI2008]球形空间产生器sphere-高斯消元

最新推荐文章于 2018-05-15 13:50:51 发布

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本文介绍如何使用高斯消元法解决一个多维空间中寻找球形空间产生器球心的问题，通过给出的球面上的点坐标计算球心坐标。

球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

喜闻乐见的高斯消元……
话说这题可以退火吧？？?

思路:
高斯消元就好了~
这里举三维的例子:
首先设球心为x,y,z，给出的4个点的坐标为ai,bi,ci，i∈{1,2,3,4}。
那么我们把第一个点单独提出来，列方程:
$(ai-x)^2+(bi-y)^2+(ci-z)^2=(a1-x)^2+(b1-y)^2+(c1-z)^2$
展开得
$ai^2-2aix+bi^2-2biy+ci^2-2ciz=a1^2-2a1x+b1^2-2b1y+c1^2-2c1z$
移项得
$2x(ai-a1)+2y(bi-b1)+2z(ci-c1)=a1^2-ai^2+b1^2-bi^2+c1^2-ci^2$

那么咱就得到了3个式子，3个未知数，直接解方程就好~

关于高斯消元的具体步骤：
首先像平时做数学题一样消出一个像这样的上三角矩阵:

1 1 0 3 7 10
0 1 9 2 6  9
0 0 5 1 4  8
0 0 0 3 8  7
0 0 0 0 9  6

然后就从下往上带入消元，解出每个变量就好~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef double db;

const int N=49;

int n;
db base[N];
db a[N][N];
db x[N],tm;

inline void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=i;

        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j][i]>a[t][i])
                t=j;

        if(t!=i)
            swap(a[t],a[i]);

        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            tm=a[i][i]/a[j][i];
            for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                a[j][k]=a[i][k]-a[j][k]*tm;
        }
    }

    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            a[i][n+1]-=x[j]*a[i][j];
        x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&base[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%lf",&tm);
            a[i][j]=2.0*(tm-base[j]);
            a[i][n+1]+=tm*tm-base[j]*base[j];
        }

    gauss();

    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%.3lf%c",x[i]," \n"[i==n]);

    return 0;
}