[算法] 最短路径条数问题

问题

给定如图所示的无向连通图，假定图中所有边的权值均为1，显然，从源点A到终点T的最短路径有多条，求不同的最短路径数目。

分析

权值相同的最短路径问题，则单源点$Dijkstra$算法退化为BFS广度优先算法， 使用$Dijkstra$算法只能求的到各个节点的最短路径，但不能求得最短路径的条数。假定起点为0，终点为N，数组$step[0...N-1]$中$step[i]$代表到第$i$个节点的最短路径长度，数组$pathNum[0...N-1]$中$pathNum[i]$代表到第$i$个节点的最短路径条数，首先：

• $step[0...N-1]$初始化为0
  • $pathNum[0...N-1]$初始化为0
  • $pathNum[0]$为1，即起点到起点的路径数量为1

  从当前节点$i$扩展到邻接节点$j$时：

  • 若$step[j]$为0，则表示从未到达过节点$j$，则：

    • $step[j]=step[i]+1$，$pathNum[j]=pathNum[i]$

    • 若$step[j]==step[i]+1$，表示已经有从其他节点到达过节点$j$，并且路径长度和从节点$i$到节点$j$的路径长度相等，则已有到达$j$的路径数加上经过$i$到达$j$的路径数为当前从源点到达节点$j$的路径数量：

      • $pathNum[j] += pathNum[i]$

      • 若$step[j]>step[i]+1$，则已有的经过其他节点到达节点$j$的路径长度要比经过节点$i$到达节点$j$路径长度要长，则需要更新到达节点$j$的路径长度和路径数量，即:

        • $step[j]=step[i]+1$，$pathNum[j]=pathNum[i]$

      • 当扩展到节点时，终止算法

      代码实现

      借助广度优先搜索的思想遍历所有节点，具体实现如CalPathNum.hpp所示：

      #ifndef CalPathNum_hpp
      #define CalPathNum_hpp
      
      #include <stdio.h>
      #include <string.h>
      #include <queue>
      
      const int nodeCnt = 16;
      int calculatePathNum(int graph[nodeCnt][nodeCnt]) {
          int step[nodeCnt]; // step[i]表示到第i个节点的步数
          int pathNum[nodeCnt]; // pathNum[i]表示到第i个节点的最短路径条数
          memset(step, 0, sizeof(int)*nodeCnt);
          memset(pathNum, 0, sizeof(int)*nodeCnt);
          pathNum[0] = 1; // 起点到起点的路径数量为1
          std::queue<int> q; // 广度优先搜索中保存当前到达的节点
          q.push(0); // 首先到达起点
          int from, i, s;
          while (!q.empty()) {
              from = q.front();
              q.pop();
              s = step[from] + 1; // 和from节点相邻的节点的路径长度
              for (i = 1; i < nodeCnt; i++) { // 0是起点，不需要遍历
                  if (graph[from][i] == 1) { // 从from到i是连通的
                      if (step[i] == 0 || step[i] > s) { // i节点从未到达过或发现更快的路径
                          step[i] = s;
                          pathNum[i] = pathNum[from];
                          q.push(i); // 将和from相邻的节点入队，相当于广度优先搜索中form节点的下一层节点入队
                      } else if(s == step[i]){ // 发现相同长度的路径
                          pathNum[i] += pathNum[from];
                      }
                  }
              }
          }
          return pathNum[nodeCnt-1];
      }
      
      #endif /* CalPathNum_hpp */

      测试代码如main.cpp：

      #include "CalPathNum.hpp"
      
      int main(int argc, const char * argv[]) {
          // 测试最短路径条数
          int graph[16][16];
          memset(graph, 0, sizeof(int) * 16 * 16);
          graph[0][1] = graph[0][4] = 1;
          graph[1][5] = graph[1][0] = graph[1][2] = 1;
          graph[2][1] = graph[2][6] = graph[2][3] = 1;
          graph[3][2] = graph[3][7] = 1;
          graph[4][0] = graph[4][5] = 1;
          graph[5][1] = graph[5][4] = graph[5][6] = graph[5][9] = 1;
          graph[6][2] = graph[6][5] = graph[6][7] = graph[6][10] = 1;
          graph[7][3] = graph[7][6] = 1;
          graph[8][9] = graph[8][12] = 1;
          graph[9][8] = graph[9][13] = graph[9][10] = 1;
          graph[10][9] = graph[10][14] = graph[10][11] = 1;
          graph[11][10] = graph[11][15] = 1;
          graph[12][8] = graph[12][13] = 1;
          graph[13][9] = graph[13][12] = graph[13][14] = 1;
          graph[14][10] = graph[14][13] = graph[14][15] = 1;
          graph[15][11] = graph[15][14] = 1;
          printf("%d\n", calculatePathNum(graph));
      
          return 0;
      }

      该算法事实上是广度优先搜索的一个应用