[算法] 拓扑排序

定义

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph，DAG)G进行拓扑排序，使得2任意一对定点$u$、$v$，若边$(u，v) \in E(G)$，则在线性序列中$u$出现在$v$之前。如下图所示的DAG：

一种可能的拓扑排序是：2->8->0->3->7->1->5->6->9->4->11->10->12。

分析

• 从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的定点并输出它；
• 从图中删除该顶点，并且删除从该顶点出发的所有有向边；
• 重复上述两步，直到剩余的图中所有节点都没有前驱为止。

拓扑排序得到的结果并不唯一

代码实现

假设有向无环图中有$n$个节点，可以借助二维数组$graph[n][n]$(邻接矩阵)来表示该图,$graph[i][j]$值为1则表示有从$i$节点到$j$节点的有向边，用一维数组$indegree[n]$表示该图所有节点的入度，将$graph$中第$j$列的所有2相加即得到$indegree[j]$(即第个节点的入度)，借助队列先进先出的特点来缓存入度为0的节点。代码实现如TopologicalSort.hpp所示：

#ifndef TopologicalSort_hpp
#define TopologicalSort_hpp

#include <queue>
#include <stdio.h>

void topologicalSort(int[][] graph, int nodeCnt, int result) {
    int[] indegree = new int[nodeCnt]; // 用于保存各节点入度
    queue<int> q; // 用来缓存入度为0的节点
    int cur; // 当前从队列头部取出的节点
    int cnt = 0;
    int i;

    // 计算各节点入度
    for (i = 0; i < nodeCnt; i++) { // 第i列
        for (int j = 0; j < nodeCnt; j++) { // 第j行
            indegree[i] += graph[j][i];
        }
    }

    // 缓存初始入度为0的节点
    for (i = 0; i < nodeCnt; i++) {
        if (indegree[i] == 0) {
            q.psuh(i);
        }
    }

    while (!q.empty()) {
        cur = q.front();
        q.pop();
        result[cnt++] = cur; // 保存当前元素到结果中
        for (i = 0; i < nodeCnt; i++) {
            if (graph[cur][i] != 0) {
                // 删除从cur出发的所有边，即相邻节点的入度减1
                if (--indegree[i] == 0) {
                    q.push[i];
                }
            }
        }
    }
}

#endif /* TopologicalSort_hpp */

总结

• 拓扑排序的本质是不断输出入度为0的节点；
• 拓扑排序可以用来判断一个有向图中是否存在环，若拓扑排序后得到的结果节点数量少于原图中节点数量，则有向图中存在环；
• 拓扑排序其实是给定了节点的一组偏序关系；