树的基本概念与存储结构-优快云博客

1.基本概念

树：是n（n>=0）个结点的有限集。在任意一颗非空树种：（1）有且仅有一个特定的称为根的结点；（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2....Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

度：结点拥有的子树数。

叶节点/终端结点：度为0的结点。

分支结点/非终端结点：度非0的结点。

树的度：结点度的最大值。

树的深度/高度：树中结点的最大层次。

有序树/无序树：树中各节点的各子树从左至右，不能互换的树。否则为无序树。

森林：若干棵互不相交的树的集合。

2.抽象数据类型（ADT）

数据对象：由若干相同数据类型的结点组成的集合

数据关系：由一个根结点和若干子树组成。根节点无前驱，结点下的子树互不相交，任何一棵子树又称为根的子树。

基本操作：

InitTree(*T): 构造空树T。

DestroyTree(*T): 销毁树T。

CreateTree(*T, definition): 按definition构造树T。

ClearTree(*T): 清空树。

TreeEmpty(T): 验证树是否为空。

TreeDepth(T): 返回树的深度。

Root(T): 返回树的根结点。

Value(T, cur_e): cur_e是树中的一个结点，返回此结点的值。

Assign(T,cur_e,value): 将结点cur_e赋值给value。

Parent(T,cur_e): 若cur_e不是根节点，则返回结点cur_e的双亲，否则返回空。

LeftChild(T,cur_e): 若结点cur_e非叶结点，则返回结点的左孩子，否则返回空。

RightSibling(T,cur_e): 若结点cur_e有右兄弟，则返回结点的右兄弟，否则返回空。

InsertChild(*T,*p,i,c): 插入c为树T中p指结点的第i棵子树（c与T不相交，1<=i<=所指结点度+1）

DeleteChild(*T,*p,i): 删除树T中p指结点的第i棵子树（1<=i<=所指结点度）。

3.树的存储结构

树的存储结构包括双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法。他们都是常用的链表结构。

双亲表示法

在每个结点中附设一个指示器指示双亲结点在链表中的位置。

 //树的双亲存储结构定义
#define MAXTREESIZE 100    
typedef int ElemType;         //元素的数据类型根据实际情况而定，这里假设为int
   
typedef struct Node          //结点结构 
{  
    ElemType data;            //数据域，用于存储结点数据   
    int    parrnt;           //双亲位置                
}PTNode;

typedef struct
{
	PTNode nodes[MAXTREESIZE];   //用数组来存储结点 
	int r,n;                    //r为根节点的位置，n为结点个数 
}PTree;

在这种存储方法中，根节点的双亲位置为-1，其余结点的双亲位置为其双亲在数组中的下标。使用这种方法可以快速地找到结点的双亲。但是若要寻找某结点的孩子，则需要遍历整个结构，对此极为不方便。我们可以增加一个左孩子域。若需要寻找结点的兄弟，则可以增加一个右兄弟域。根据对应的需求增加对应的域。

孩子表示法

将每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构。n个结点就有n个孩子链表，终端结点的孩子链表为空。每个结点及其对应的孩子链表组成一个线性表，采用顺序存储结构，放进数组中。

//树的孩子存储结构 
typedef struct Childnode      //孩子链表中结点结构 
{
	int   Child;             //该孩子结点在数组中的下标 
	struct Childnode *next;  //指针，指向下一个孩子结点 
}*Childnodes;

typedef struct Node          //顺序存储结构中的结点结构 
{
	ElemType     data;       //结点数据 
	Childnodes   firstchild;  //该结点对应的孩子链表的头指针   
}PTNode;

typedef struct              //树结构 
{
	PTNode nodes[MAXTREESIZE];  //用数组来存储结点
	int r,n;                    //r为根节点的位置，n为结点个数
}PTree;

这样寻找某结点某个孩子或兄弟，只需要遍历对应的孩子链表即可。但是寻找双亲则需要遍历整颗树，因此我们可以结合双亲表示法和孩子表示法，添加一个双亲域，这样的方法称为双亲孩子表示法。改动非常小:

typedef struct Node          //顺序存储结构中的结点结构 
{
	ElemType     data;       //结点数据 
	Childnodes   firstchild;  //该结点对应的孩子链表的头指针
	int    parrnt;           //双亲位置    
}PTNode;

孩子兄弟表示法

在每个结点中设置两个指针域，分别指向该节点的第一个孩子（左孩子）和此结点的右兄弟。

//树的孩子兄弟存储结构
typedef struct Node          //结点结构 
{  
    ElemType      data;           //数据域，用于存储结点数据   
    struct Node  *firstchild;     //指针，指向该结点的第一个孩子 
    struct Node  *rightsib;   //指针，指向该结点第一个右兄弟             
}CSNode,*CSTree;

该方法又称二叉树表示法或二叉链表表示法，此方法将普通的树转换为二叉树，因此可以利用二叉树的特性和算法来处理这棵树。