集列的上限集和下限集

　　以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合：

$$X=\{X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\}\\ \inf X=\bigcap_{m=1}^\infty X_m$$
令$I_n$为自$X_n$起集合（$\{X_n,X_{n+1},\cdots\}$）的下确界。那么序列$I_n$非递减，因为$I_n\subset I_{n+1}$。所以，$I_1$至$I_n$的并集就是$I_n$。$X$的下极限就是$\{I_1,I_2,\cdots,I_n,\cdots\}$的极限：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\inf X=\bigcup_{n=1}^\infty \left(\bigcap_{m=n}^\infty X_m \right)$$
　　上极限可以以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是他们的可数并：
$$\sup X = \bigcup_{m=1}^\infty X_m$$
令$P_n$为自$X_n$起的集合的上确界。那么序列$P_n$非递增，因为$P_n\supset P_{n+1}$。所以，$P_1$至$P_n$的交集就是$P_n$。$X$的上极限就是$\{P_1,P_2,\cdots,P_n,\cdots\}$的极限：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup X=\bigcap_{n=1}^\infty \left(\bigcup_{m=n}^\infty X_m \right)$$
　　看了上述这种定义方式，看下面的定义就不会看不懂了。
- 下限集
　　那种除有限个下标外，属于集列$X$中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的下限集或者下极限，记为 $$\lim _{\over n\rightarrow\infty}X$$ 或者 $$\lim_{n\rightarrow \infty}\inf X$$
$$\lim _{\over n\rightarrow\infty}X=\{x|当n充分大以后都有x\in X_n\}$$
- 上限集
　　由属于$X$集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限，记为 $$\lim _{n\rightarrow\infty}^{—— }X$$ 或者 $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sup X$$
$$\lim _{n\rightarrow\infty}^{—— }X=\{x|存在无穷多个X_n,使得x\in X_n\}$$
上限集还可以定义为：
$$\lim _{n\rightarrow\infty}^{—— }X=\{x|对任意N>0,存在一个n,n>N,使x\in X_n\}$$
显然，
$$\lim _{\over n\rightarrow\infty}X \subset \lim _{n\rightarrow\infty}^{—— }X$$

参考文献

[1] 维基百科 上极限和下极限词条
[2] 程其襄. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 7-7.