如何分析算法的运行时间（以插入排序为例）

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原创最新推荐文章于 2026-05-18 06:10:33 发布 1.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

分析算法文章目录RAM模型插入排序算法的分析小结分析算法的意义就是为了预测算法所需要的资源，更通常的说法是为了计算时间复杂度和空间复杂度。 RAM模型在分析一个算法之前，我们必须有一个要使用的实现技术的模型，包括描述所用资源及其代价的模型。在算法导论中假定了一种通用的单处理器模型——随机访问模型（RAM）。 RAM模型包含真实计算机中常见的指令：算术指令（如加减乘除、取余、上取整、下取整）、数据移动指... 阅读详情

一个算法在特定输入上的运行时间是指执行的基本操作或步数量。

简单来说就是执行每行（ $i$ ）伪代码所需演的时间（ $c_{}i$ ）。

接下来看下面这段伪代码

行	代码 $c_{5}$	代价	次数
1	for j = 2 to A.length	$c_{1}$	n
2	key = A [ j ]	$c_{2}$	n-1
3	//Insert A [ j ] into the sorted sequence A [ 1 . . j - 1 ]	0	n-1
4	i = j - 2	$c_{4}$	n-1
5	while i > 0 and A [ i ] > key	$c_{5}$	$\sum_{j=2}^{n}t_{j}$
6	A [ i + 1 ] = A [ i ]	$c_{6}$	$\sum_{j=2}^{n}t_{j}-1$
7	i = i - 1	$c_{7}$	$\sum_{j=2}^{n}t_{j}-1$
8	A[i+1] = key	$c_{8}$	n-1

即运行时间为T(n) = $c_{1}n+c_{2}(n-1)+c_{4}(n-1)+c_{5}\sum_{j=2}^{n}t_{j}+c_{6}\sum_{j=2}^{n}(t_{j}-1)+c_{7}\sum_{j=2}^{n}(t_{j}-1)+c_{8}(n-1)$

若输入数组已经排好序，则出现最佳情况 $T\left ( n \right )= c_{1}(n)+c_{2}(n-1)+c_{4}(n-1)+c_{5}(n-1)+c_{8}(n-1) = (c_{1}+c_{2}+c_{4}+c_{5}+c_{8})n-(c_{2}+c_{4}+c_{5}+c_{8})$

该运行时间表示为an+b

若输入数组已反向排序，则导致最坏情况。此时

$\sum_{j=2}^{n}(t_{j}) = \frac{n(n+1)}{2}-1$ $\sum_{j=2}^{n}(t_{j}-1) = \frac{n(n-1)}{2}$

$T(n) = (\frac{C_{5}}{2}+\frac{C_{6}}{2}+\frac{C_{7}}{2})n^{2}+(C_{1}+C_{2}+C_{4}+\frac{C_{5}}{2}-\frac{C_{6}}{2}-\frac{C_{7}}{2}+C_{8})-(C_{2}+C_{4}+C_{5}+C_{8})$