三维空间刚体旋转描述

本文探讨了三维空间中刚体旋转的四种描述方式:旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数。旋转矩阵虽直观但冗余,旋转向量简洁但有奇异性,欧拉角易理解但存在万向锁问题,而四元数则兼顾紧凑性和无奇异性。介绍了这些表示之间的转换公式,并指出四元数在描述旋转时的优势。

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三维空间中通常可以用旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数来描述旋转


旋转矩阵

先回顾下向量的内积和外积

ab=aTb=3i=1aibi=|a||b|cos(a,b)a×b=ia1b1ja2b2ka3b3=a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1=0a3a2a30a1a2a10b=a^b(1){ a⋅b=aTb=∑i=13aibi=|a||b|cos(a,b)a×b=[ijka1a2a3b1b2b3]=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]=[0−a3a2a30−a1−a2a10]b=a^b(1)

其中 a^=0a3a2a30a1a2a10a^=[0−a3a2a30−a1−a2a10] 是取向量 aa 反对角矩阵

外积只对三维向量存在定义,并且可以表示向量的旋转:
假设两个不平行向量 a bb,可以用一个与 a , b 所在平面垂直的向量描述aa

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