三维空间刚体旋转描述

最新推荐文章于 2022-05-30 03:06:26 发布

zizi7

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分类专栏：机器人ROS 自动驾驶

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zizi7/article/details/80763570

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本文探讨了三维空间中刚体旋转的四种描述方式：旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数。旋转矩阵虽直观但冗余，旋转向量简洁但有奇异性，欧拉角易理解但存在万向锁问题，而四元数则兼顾紧凑性和无奇异性。介绍了这些表示之间的转换公式，并指出四元数在描述旋转时的优势。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

三维空间中通常可以用旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数来描述旋转

旋转矩阵

先回顾下向量的内积和外积

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a⋅b=aTb=∑3i=1aibi=|a||b|cos(a,b)a×b=⎡⎣⎢ia1b1ja2b2ka3b3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥b=a^b(1) { a ⋅ b = a T b = ∑ i = 1 3 a i b i = | a | | b | c o s ( a , b ) a × b = [ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] b = a ^ b ( 1 )

$\begin{cases}a\cdot b=a^Tb=\sum^3_{i=1}{a_ib_i}=|a||b|cos(a,b) \\ a\times b=\left[\begin{matrix}i&j&k \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&-a_3&a_2 \\ a_3&0&-a_1 \\ -a_2&a_1&0\end{matrix}\right]b=\hat{a}b \end{cases}(1)$
其中

a^=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥ a ^ = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] $\hat{a}=\left[\begin{matrix}0&-a_3&a_2 \\ a_3&0&-a_1 \\ -a_2&a_1&0\end{matrix}\right]$ 是取向量

a a $a$ 的 反对角矩阵

外积只对三维向量存在定义，并且可以表示向量的旋转：
假设两个不平行向量 $a$ ， $b$ ，可以用一个与 $a, b$