最大公因数的几种求法总结

最最简单的办法，逐一测试每一个不大于这两个数中较小的那一个数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main(){
	int a,b;cin>>a>>b;
	if(a<b)swap(a,b);//确保a>=b，即a是较大的，b是较小的
	int gcd=1;
	for(int r=2;r<=b;r++){
		if(a%r==0&&b%r==0)gcd=max(gcd,r);
	}
	cout<<gcd;
	return 0;
}

上述代码可以简单优化一下，由于要求最大的公因数，所以从较小数递减可能会快一些。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main(){
	int a,b;cin>>a>>b;
	if(a<b)swap(a,b);//确保a>=b，即a是较大的，b是较小的
	int gcd=1;
	for(int r=b;r>=2;r--){
		if(a%r==0&&b%r==0){gcd=r;break;}
	}
	cout<<gcd;
	return 0;
}

然后就是经典的欧几里得算法。

欧几里得算法，也称为辗转相除法。原理是通过不断用较大的数除以较小的数并取余，直到余数为0，最后的除数即为最大公约数。

先附上欧几里得算法本人写的拙劣证明（可能有问题，欢迎指正，这是当时上这门课的时候随便写的，保留原状拍过来了）。

设x和y是正整数，并且0<y≤x，则x和y的最大公约数gcd(x，y)满足以下性质：
(1) 如果 x mod y = 0, 则gcd(x,y) = y;
(2)否则,gcd(x,y) = gcd(y,x mod y)

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main(){
	int a,b;cin>>a>>b;
	if(a<b)swap(a,b);//确保a>=b，即a是较大的，b是较小的
	int gcd=1;
	while(a%b!=0){
	//核心原理：
	//a与b的最大公因数等于b与a mod b的最大公因数
		int r=a%b;
		a=b;
		b=r;
	}
	cout<<b;
	return 0;
}

最后是一道题目，被包装了，不太容易发现是求最大公因数的题目。

给定1∼n的一个排列，问能否只通过有限次交换距离为k的两数，使之变成升序排列。

假设这个排列现在被存放在一个数组a当中（从下标1开始）。

初态：1∼n的一个排列，a[i]在i的位置上，a[i]的下标是i。

终态：1∼n的升序排列，i在i的位置上，i的下标是i（或者也可以说，a[i]在a[i]的位置上，a[i]的下标是a[i]）。

移动：元素a[i]要从初始位置i被移到最终的位置a[i]上，需要移动|a[i]-i|个位置。

综上，移动距离是|a[i]-i|。

而规定只能选择距离为k的两数交换，所以|a[i]-i|一定是k的倍数，k一定是|a[i]-i|的因数。 

即k一定是|a[1]-1|，|a[2]-2|，|a[3]-3|，...，|a[n]-n|的因数。

更进一步，k一定是|a[1]-1|，|a[2]-2|，|a[3]-3|，...，|a[n]-n|的最大公因数的因数。

所以分析到这里，你已经清楚了本题根本就不是什么排序题目，是求n个数的最大公因数的题目。否则你会被卡时间。

那么，对于这个求n个数的最大公因数的问题，有没有什么技巧可以说的呢？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n;int k;
int g;//所有|a[i]-i|的最大公因数
void gcd(const vector<int>&a){
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(a[i]!=i+1)g=__gcd(g,abs(a[i]-i-1));
	}
}
bool ask(int x){
	if(g%x==0)return true;
	return false;
}
signed main(){
	cin>>n>>k;//分别表示排列的长度和询问的个数
	vector<int>a(n);
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
	vector<int>x(k);
	for(int i=0;i<k;i++)cin>>x[i];
	gcd(a);
	for(int i=0;i<k;i++){
		if(ask(x[i]))cout<<"YES";
		else cout<<"NO";
		if(i!=k-1)cout<<endl;
	}
	return 0;
}