求多个数的最大公约数

最新推荐文章于 2020-02-02 22:56:49 发布

奥四十岁

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分类专栏：数据结构与算法笔试/面试

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本文介绍了如何使用辗转相除法（欧几里得算法）求解多个正整数的最大公约数，包括单个数的情况和多个数的情况。通过一系列的例子详细解释了算法的原理和步骤，展示了一种有效计算最大公约数的方法。

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求多个数的最大公约数，我们可以采用先求两个数的最大公约数，然后再用这个最大公约数与其余的数循环求最大公约数；

还可以多个数进行辗转相除法；

辗转相除法

又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法。

辗转相除法的实现，是基于下面的性质：

　　1：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数

　　就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。那么就必定要整除b，所以p又是a和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。

　　还有另外一个性质也是很必要：

　　2：(0,a)=a

　　由这两个性质得到的，就是更相减损术：

　　(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2

　　基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止。不过在平时的计算过程中，往往不必计算到最后一步，比如在上面的过程中，到了(8,6)，就已经能够看出其结果。

　　我们可以看到，在上面的过程中，由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位，因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14)，由此就诞生出我们的辗转相除法。

　　用辗转相除法求(a,b).设r₀=b，r₁=a，反复运用除法算式，得到一系列整数q_i，r_i和下面的方程：

　　r₀=q₁r₁+r₂，r₂＜r₁(r₂,r₁)

　　r₁=q₂r₂+r₃，r₃＜r₂(r₃,r₂)

　　r₂=q₃r₃+r₄，r₄＜r₃(r₄,r₃)

　　………………

　　r_n-3=q_n_-2r_n-2+r_n-1，r_n-1＜r_n-2 (r_n-1,r_n-2)

　　r_n-2=q_n_-1r_n-1+r_n，r_n-2＜r_n-1 (r_n-1,r_n)

　　r_n-1=q_nr_n。 (r_n,0)

　　相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小，上面右边就是每一步对应的缩小结果，可以看出，最后的余数rn就是a和b的公约数。我们以一个题为例说明基本过程。

　　例题：求(326,78)

　　326=4×78+14(78,14)

　　78=5×14+8 (14,8)

　　14=1×8+6 (6,8)

　　8=1×6+2 (6,2)

　　6=3×2 (0,2)

　　所以(326,78)=2。这和我们用更相减损术算出来的结果是一样的。

int gcd(int m, int n)
{
	if (m < n)
	{
		int tmp = m;
		m = n;
		n = tmp;
	}
	if (n == 0)
		return m;
	else
		return gcd(n, m % n);
}

多个数的最大公约数：

int main()
{
	int n;
	cout << "请输入要求多少个数:" ;
	cin >> n;
	if (n <= 0)
		return 0;
	int *a = new int[n];
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		cout << "请输入第" << i+1 << "个数：";
		cin >> a[i];
		cout << endl;
	}

	int number = a[0];
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		number = gcd(number, a[i]);
	}
	cout << "最大公约数是："<< number << endl; 
}