筛质数之谜

筛质数的三种方法

朴素筛法O(nlogn)

朴素筛法的原理就是从小到大枚举每次将数的倍数都筛掉，因为只要是合数那他一定就会有因子，而如果是从小到大枚举这样就可以将1~n中的所用合数都筛掉，这样剩下的数就都是质数了

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1000010;

bool st[N];
int cnt;
int prime[N];

// 朴素筛法
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if (!st[i])
            prime[cnt ++] = i;
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

int main ()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    get_primes(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

---

埃式筛法 O(nloglogn)

// 埃式筛法
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            prime[cnt ++] = i;
            for (int j = i; j <= n; j += i )
                st[j] = true;
        }
    }
}

---

算法的核心原理是：每次用最小的质因子筛掉每一个数st[prime[j] * i ] = true

线性筛法O(n)

// 线性筛法
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
            // 当i % prime[j] == 0的时候，这时prime[j]就是i的最小质因子
            // 当i % prime[j] != 0的时候，这时prime[j]比i的最小质因子还小
            // 所以也可以用来筛质数
        }
    }
}

当数据<=10⁷的时候埃式筛法和线性筛法差不多，但是当>=10⁷的时候线性筛法明显要比埃式筛法快一倍，所以通常筛素数都是用线性筛法