滑雪题解-记忆化搜索，DP

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Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1 2 3 4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。
Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
Sample Output

25

Source SHTSC 2002

解题思路

搜索（DFS）

这题的数据不是很大，但还是不能直接用搜索的。
所以我们可以考虑优化，普通的优化有两种，记忆化 或 剪枝。
我们先考虑剪枝

剪枝

“可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡”

显而易见，我们在这里可以用 高度 剪枝。只要出现以下情况，我们就可以停止递归：走到一个盆地（四周高中间低）

给出代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
const int fx[9]={0,-1,0,1,0},fy[9]={0,0,-1,0,1};
int a[105][105];
int r,c,ans=-10000;
void dg(int x,int y,int sum)
{
	if(sum>ans) ans=sum;
	if(a[x][y]<a[x-1][y]&&a[x][y]<a[x][y-1]&&a[x][y]<a[x][y+1]&&a[x][y]<a[x+1][y])
		return ;//高度优化
	int xx,yy;
	for(int i=1;i<=4;++i)
	{
		xx=x+fx[i],yy=y+fy[i];
		if(a[xx][yy]<a[x][y])
			dg(xx,yy,sum+1);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&r,&c);
	for(int i=1;i<=r;++i)
		for(int j=1;j<=c;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=r;++i)
		for(int j=1;j<=c;++j)
			dg(i,j,0);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}`

但是，这还是会时间超限。
所以我们考虑第二种优化：记忆化

记忆化

先设 $F_{i,j}$ 为 i,j 为起始点的最大长度。
所以就可以剪枝，如果这个点有值我们就直接返回这个值。
如果没有，那就另外再更新。
所以得出代码：

#include<cstdio>
const int fx[9]={0,-1,0,1,0},fy[9]={0,0,-1,0,1};
int a[102][102],f[102][102];
int r,c;
int dg(int x,int y)
{
	if(f[x][y]) return f[x][y];
	int t=1,xx,yy;
	for(int i=1;i<=4;i++)
	{
		xx=x+fx[i],yy=y+fy[i];
		if(a[x][y]<a[xx][yy])
		{
			int tmp=dg(xx,yy)+1;
			if(tmp>t) t=tmp;
		}
	}
	f[x][y]=t;
	return t;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&r,&c);
	for(int i=1;i<=r;++i)
		for(int j=1;j<=c;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=r;++i)
		for(int j=1;j<=c;++j)
		{
			f[i][j]=dg(i,j);
			if(f[i][j]>ans) ans=f[i][j];
		}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

然后，过了。
你学废了吗？

讨论动态规划解法（DP）

其实你可以发现，这道题的正确解法已经有了DP的味道。
再从新审视一下……这不就是个DP嘛？设出状态，最后得出答案。
但是这道题与别的DP题不同的是，我们的所有状态因为有后效性所以只能在递归中实现。这与树型DP也有相似之处。

总结

这题我们用到了记忆化优化（也可以说是DP了），以后看到题目爆搜可能过不了，就可以考虑优化。但是要慎重选择。