拟合随时间指数衰减的过程

1. 指数衰减过程

在计算诸如新闻热度、特征重要度等场合下，我们需要一种具有这样特性的过程，一个数值随着时间的推移呈现指数形式逐渐放缓的衰减，即这个数值的衰减速度和当前值成正比，数学公式为

$$\frac{dN}{dt}=-\alpha N$$
其中 $\alpha>0$称为指数衰减常数。通过解微分方程可得
$$N(t)=N_0e^{-\alpha t}\quad(1)$$
其中 $N(t)$为 $N$在$t$时刻的数值， $N_0=N(0)$为 $N$在$0$时刻的初始数值，也是当 $t\ge 0$的最大值。举例来说，一篇新闻的初始热度为 $N_0$，那么随着时间的推移其热度按照指数形式的下降，计算公式就是式(1)。假设 $N_0=1$，那么该新闻的热度随时间变化如下图所示，该新闻在第30天时热度趋近于0.

2. 更进一步控制衰减过程

以上公式仅仅表示数值可以按照指数形式进行衰减，但是往往需要更精细的控制衰减过程，比如该数值从多大的数值继续衰减，再经过多长时间的衰减后，下降到多大的数值等等，这就需要略微修改计算公式为

$$N(t)=N_0e^{-\alpha (t+l)}\quad(2)$$
其中 $l$表示向左的平移量，它可以让数值不必从$N_0$开始衰减，而从任何位置处继续衰减。假设我们需要从 $N_{init}$处继续衰减，经过 $m$天衰减到$N_{finish}$，列写方程为
$$N_0e^{-\alpha l}=N_{init}\\ N_0e^{-\alpha (m+l)}=N_{finish}$$
可以解得
$$\alpha=\frac{1}{m}\ln(\frac{N_{init}}{N_{finish}})\\ l=\frac{1}{\alpha}\ln(\frac{N_{0}}{N_{init}})$$
带入式(2)即可。这种精确受控的衰减过程可以通过举例说明。假设 $N_0=1$，一个衰减过程 $N_{init}=0.8$， $m=30$， $N_{finish}=0.2$，另一个衰减过程 $N_{init}=0.6$， $m=20$， $N_{finish}=0.2$，则这两个过程随时间变化如下图所示，可以看到蓝线代表的衰减过程在有效时间内总是在红线之上，衰减的速率也要更小。

3. Python计算实现

实现的init、m和finish分别代表初始衰减值、衰减时间长度和完成衰减值。

import numpy as np
def exponential_decay(t, init=0.8, m=30, finish=0.2):
    alpha = np.log(init / finish) / m
    l = - np.log(init) / alpha
    decay = np.exp(-alpha * (t + l))
    return decay

附参考

这是牛顿冷却定律及其应用
这是更详细的wiki定义，包括了控制衰减过程的一般方式（平均生命时长、半衰期）以及受两个或更多因素控制的衰减过程