矩阵快速幂求斐波那契数列

ifenghao

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：快速幂斐波那契 java

于 2017-04-11 17:05:55 首次发布

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快速幂

求数 $a$ 的 $n$ 次幂，可以采用二分法进行快速计算，即

$a^n=\left\{\begin{array}{ll} a^{\frac{n}{2}}\cdot a^{\frac{n}{2}}, & n为偶数\\ a\cdot a^{\frac{n}{2}}\cdot a^{\frac{n}{2}}, & n为奇数 \end{array}\right.$

还可以这样考虑，将 $n$ 表示为二进制，每一个进制位决定了是否取这一项的结果，且每一项可以由前一项平方迭代计算
$\begin{aligned}a^n&=a^{(b_0b_1b_2b_3\cdots b_k)_2}\\ &=a^{b_02^0+b_12^1+b_22^2+b_32^3+\cdots b_k2^k}\\ &=a^{1b_0}\cdot a^{2b_1}\cdot a^{4b_2}\cdot a^{8b_3}\cdots a^{b_k2^k}\\ &=a^{b_0}\cdot (a\cdot a)^{b_1}\cdot (a^2\cdot a^2)^{b_2}\cdot (a^4\cdot a^4)^{b_3}\cdots (a^{2^{k-1}}\cdot a^{2^{k-1}})^{b_k}\end{aligned}$

public int power(int a, int n){
	int result = 1;
	while (n > 0) {
		if (n % 2 == 1) { // 还可以用 n & 1 == 1，表示取二进制最后一位
			result *= a; // 二进制最后一位为1，表示取当前a
		}
		n /= 2; // 还可以用 n = n >> 1，表示二进制右移一位
		a *= a; // 迭代计算下一位的基数
	}
	return result;
}

变形：如果对要求 $a^n \% k$ ，对k取余操作可以直接放进每步迭代里

public int power(int a, int n, int k){
	int result = 1;
	while (n > 0) {
		if (n % 2 == 1) {
			result = (result * a) % k; // 对k取余
		}
		n /= 2;
		a = (a * a) % k; // 对k取余
	}
	return result;
}

矩阵快速幂

和上述思路完全一样，只是全部对于矩阵乘法。斐波那契数列定义如下

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & n=0\\ 1, & n=1\\ f(n-2)+f(n-1), & n\ge2 \end{array}\right.$

可以构造矩阵 $A=[1110]A=\left[\begin{array}{cc}1 \quad 1\\ 1 \quad 0\end{array}\right]$ ，则 $[f(n+1)f(n)f(n)f(n−1)]=An\left[\begin{array}{cc}f(n+1) \quad f(n)\\ f(n) \quad f(n-1)\end{array}\right]=A^n$ 。其中 $A^n$ 就可以使用矩阵快速幂计算。

public class Fibonacci {
    static int[][] dot(int[][] A, int[][] B) {
        int Arows = A.length;
        int Acols = A[0].length;
        int Brows = B.length;
        int Bcols = B[0].length;
        assert (Acols == Brows);
        int tmp;
        int[][] R = new int[Arows][Bcols];
        for (int i = 0; i < Arows; i++) {
            for (int j = 0; j < Bcols; j++) {
                tmp = 0;
                for (int k = 0; k < Acols; k++) {
                    tmp += A[i][k] * B[k][j];
                }
                R[i][j] = tmp;
            }
        }
        return R;
    }

    static int fibonacci(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        n -= 1;
        int[][] result = new int[][]{{1, 0}, {0, 1}};
        int[][] A = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}};
        while (n > 0) {
            if (n % 2 == 1) {
                result = dot(result, A);
            }
            n /= 2;
            A = dot(A, A);
        }
        return result[0][0];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibonacci(100000));
    }
}