1479 小Y的数论题

最新推荐文章于 2024-10-07 18:15:04 发布

mezhuangzhuang

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分类专栏： 51nod-快速幂扩展欧几里德构造

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扩展欧几里德

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构造

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本文详细解析了1479小Y的数论题，包括题目背景、输入输出要求及实现算法。针对特定条件下寻找满足等式的整数解，通过扩展欧几里得算法求解不定方程，特别处理了当模数为2的幂次的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1479 小Y的数论题

基准时间限制：1.5 秒空间限制：131072 KB

分值: 640 难度：8级算法题

小Y喜欢研究数论，并且喜欢提一些奇怪的问题。

这天他找了三个两两互质的数a, b, c，以及另一个数m, 现在他希望找到

三个(0, m)范围内的整数x, y, z，使得

(x^a+y^b) Mod m=(z^c) Mod m

Input
第一行一个数代表数据组数T

接下来T行每行四个整数m, a, b, c

满足a, b, c两两互质

1 <= T <= 100000
1 <= a, b, c <= 10^9
3 <= m <= 10^9

Output

对于每组数据，如果不存在x, y, z满足条件，则输出”Stupid xiaoy”（不含引号）

否则输出一行三个数分别为x, y, z

Input示例

100 1 1 1

Output示例

1 2 3
考虑构造形如 2^kab+2^kab=2^(kab+1) 的式子
那么只要找到合理的k使得(kab + 1)能被c整除，就可以构造出满足条件的x y z
设
kab+1=lc
那么有
lc−kab=1
可以用扩展欧几里得解这个不定方程

此时存在的唯一问题是，若m是2的次幂，那么取模之后结果可能是0
这种情况可以特殊处理，例如：
若a > 1，取x = m / 2, y = z = 1
b > 1类似
否则若c > 1，取x = y = z = m / 2
否则取x = y = 1, z = 2

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a,b,c,k,l,x,y,z;
ll mod;
ll quick_mod(ll m,ll n){
    ll b=1;
    while(n){
        if(n&1){
            b=b*m%mod;
        }
        n>>=1;
        m=m*m%mod;
    }
    return b;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (!b){
        x=1;y=0;
        return;
    }
    ll xx,yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy;y=xx-a/b*yy;   
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld %lld %lld",&mod,&a,&b,&c);
        if(quick_mod(2,mod)==0){
            x=1,y=1,z=1;
            if(a>1)x=mod/2;
            else if(b>1)y=mod/2;
            else if(c>1)x=y=z=mod/2;
            else x=y=1,z=2;
            printf("%lld %lld %lld\n",x,y,z);
            continue;
        }
        exgcd(c,a*b,l,k);
        k=-k;
        while(k<0||l<0)k+=c,l+=a*b;
        x=quick_mod(2,b*k);y=quick_mod(2,a*k);z=quick_mod(2,l);
        printf("%lld %lld %lld\n",x,y,z);
    }
    return 0;
}