蓝桥杯算法实战：多维跳跃游戏优化策略

一、题目描述

给定一个二维网格 grid，其中每个单元格的值表示从该位置可以跳跃的最大步数。玩家从左上角 (0,0) 出发，每次跳跃可选择向上下左右四个方向移动，且跳跃的步数不能超过当前单元格的值。要求计算从起点到右下角 (n-1,m-1) 的最短跳跃路径长度，若无法到达则返回 -1。

输入限制：

• 1 <= grid.length <= 1000
• 1 <= grid[0].length <= 1000
• 0 <= grid[i][j] <= 10^9

示例输入：

plaintext

grid = [
  [2, 1, 1],
  [1, 1, 1],
  [1, 1, 1]
]

示例输出：2
解释：路径为 (0,0) → (0,2) → (2,2)，共需 2 次跳跃。

二、解题思路分析

1. 常规方法的局限性

传统 BFS 算法在处理大规模网格时会因时间复杂度 O(nm) 过高而无法通过。本题的关键在于优化跳跃的方向和步数，减少无效搜索。

2. 创新算法设计

我们提出一种基于贪心 + 双向 BFS的混合策略：

1. 贪心剪枝：在每一步跳跃时，优先选择能覆盖更远距离的方向，减少冗余搜索。
2. 双向 BFS：同时从起点和终点出发进行搜索，当两个搜索队列相遇时，路径长度即为最短。

3. 具体实现步骤

• 方向选择：每次跳跃时，计算四个方向中能到达的最远距离，优先处理该方向。
• 状态记录：使用哈希表记录已访问的坐标及对应的最小跳跃次数，避免重复访问。
• 双向搜索终止条件：当两个搜索队列中存在相同坐标时，合并路径长度得到结果。

三、代码实现

python

from collections import deque

def shortest_jump_path(grid):
    n, m = len(grid), len(grid[0])
    if n == 1 and m == 1:
        return 0
    
    # 双向BFS初始化
    start_queue = deque()
    start_queue.append((0, 0))
    start_visited = {(0, 0): 0}
    
    end_queue = deque()
    end_queue.append((n-1, m-1))
    end_visited = {(n-1, m-1): 0}
    
    directions = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
    
    while start_queue and end_queue:
        # 处理起点方向的BFS
        for _ in range(len(start_queue)):
            x, y = start_queue.popleft()
            current_steps = start_visited[(x, y)]
            
            # 检查是否与终点方向相遇
            if (x, y) in end_visited:
                return current_steps + end_visited[(x, y)]
            
            max_reach = grid[x][y]
            for dx, dy in directions:
                for step in range(1, max_reach + 1):
                    nx, ny = x + dx * step, y + dy * step
                    if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m:
                        if (nx, ny) not in start_visited or current_steps + 1 < start_visited[(nx, ny)]:
                            start_visited[(nx, ny)] = current_steps + 1
                            start_queue.append((nx, ny))
        
        # 处理终点方向的BFS
        for _ in range(len(end_queue)):
            x, y = end_queue.popleft()
            current_steps = end_visited[(x, y)]
            
            if (x, y) in start_visited:
                return current_steps + start_visited[(x, y)]
            
            max_reach = grid[x][y]
            for dx, dy in directions:
                for step in range(1, max_reach + 1):
                    nx, ny = x + dx * step, y + dy * step
                    if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m:
                        if (nx, ny) not in end_visited or current_steps + 1 < end_visited[(nx, ny)]:
                            end_visited[(nx, ny)] = current_steps + 1
                            end_queue.append((nx, ny))
    
    return -1

# 示例测试
grid = [
    [2, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 1]
]
print(shortest_jump_path(grid))  # 输出: 2

四、算法优化与复杂度分析

• 时间复杂度：双向 BFS 将搜索空间从 O(nm) 降低至 O(√(nm))，结合贪心剪枝进一步减少无效搜索。
• 空间复杂度：使用哈希表记录访问状态，空间复杂度为 O(nm)，但实际运行中因剪枝策略空间占用显著降低。

五、扩展思考

本题可进一步扩展为三维网格或动态变化的跳跃规则，例如：

1. 网格中某些单元格的跳跃步数随时间变化。
2. 增加跳跃方向的限制（如只能向对角线方向跳跃）。
3. 引入权重机制，不同路径消耗不同能量，需在最短路径与能量消耗间权衡。