选数异或 (AcWing 4645)

题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/4648/

题目描述:

评价: 这道题感觉还是蛮有意思的，难度适中，而且有一定的思维含量，值得反复品味。

思路: 首先我们定义一个数组g[N], 其中的每个元素g[i] 表示在所有 i<j<=n 的j中，满足a[j] ^ a[i] = x的最小的那个j.  这是因为如果存在多个这样的j, 最小的那个j一定是最优的，因为他更加容易被包含在一个区间[l,r] 中. 

假设我们已经得到了上面的数组g, 那么实际上题目的问题就转化为: 每次给定一个查询[l,r] ，询问所有 l=< i <=r 的 i 是否存在一个g[i] <= r. 进一步，我们将这个问题转化为:

询问数组g在区间[l,r] 上的最小值是否小于等于r. 这是一个区间查询问题，且这个问题是满足区间可加性的，可以用线段树解决。

那么只需要考虑数组g 是如何构建的，注意到，若给定a, 满足 a^b=c 的b的取值是唯一的(等式两边异或上a就不难证明)，因此，对于每一个位置i，满足t ^ a[i] =x 的值t是唯一的，我们只需要知道数组中数值 t 出现的全部位置即可； 另一方面，由于数组g的定义，因此需要动态维护每个数值出现的索引(要保证后面的位置不能够使用前面的位置的信息)，因此可以用一个队列(先进先出)来进行维护。

参考代码: