Fraction to Recurring Decimal

本文深入探讨了类Solution中的核心方法,详细解释了如何通过参数numerator和denominator进行分数转换并返回字符串形式的输出。
class Solution:
    # @param {integer} numerator
    # @param {integer} denominator
    # @return {string}
    def fractionToDecimal(self, numerator, denominator):
        result=''
        hashmap=dict()
        if numerator ==0:
            return '0'
        if (numerator < 0 ) ^ (denominator < 0):
            result += '-'

        numerator=abs(numerator)
        denominator=abs(denominator)

        result += str(numerator/denominator)
        r=numerator % denominator
        if r == 0:
            return result
        else:
            result+='.'
        while r !=0:
            idx= hashmap.get(r)
            if idx:
                mystr=''.join(result[:idx])
                mystr+='('
                mystr+=''.join(result[idx:])
                mystr+=')'
                result=mystr
                break
            hashmap[r]=len(result)
            r *= 10
            result+=str(r /denominator )
            r=r % denominator
        return result
<think> 我们正在分析函数`fractionToDecimal`中的代码行`r_to_pos.set(r, 1);`的作用。 首先,回顾整个函数的功能:将分数转换为小数(字符串形式),能够处理循环小数。 函数步骤: 1. 确定符号(正负号)。 2. 取分子和分母的绝对值,确保后续计算在非负数上进行。 3. 计算整数部分(整除)和余数(模运算)。 4. 如果余数为0,直接返回整数部分的字符串(带上符号)。 5. 否则,初始化结果数组,包含整数部分和小数点。 6. 创建一个Map(`r_to_pos`)用于记录余数出现的位置(在小数部分中的位置)。 7. 将初始余数(整数部分计算后的余数)存入Map,并设置其位置为1(注意:这里的位置1表示小数部分的第一位之前?但实际代码中,我们接下来就要计算第一位小数)。 关键行:`r_to_pos.set(r, 1);` 解释: - 这里的`r`是整数部分计算后剩下的余数(即`numerator % denominator`的绝对值)。这个余数将用于计算小数部分。 - 我们将这个余数作为键,值设为1。这里的1代表的是这个余数对应的小数部分的位置是第1位(即小数点后的第一位)之前的状态。注意,在进入循环之前,我们已经得到了整数部分和小数点,接下来循环中计算的第一位小数就是由这个余数乘以10再除以分母得到的。 循环开始后: 第一次迭代: - `r *= 10`:将余数乘以10,相当于向小数点后借位。 - `q = Math.floor(r / denominator)`:计算这一位的小数。 - `r = r % denominator`:更新余数。 - 将这一位小数(字符串)加入结果数组。 - 然后检查这个新的余数是否在Map中出现过(即是否重复出现余数,重复则表示循环开始)。 - 如果没有出现过,则将当前余数及它在结果数组中的位置(即`ans.length`)存入Map。 注意:在循环之前,我们设置初始余数的位置为1。这里的位置1实际上对应的是即将计算的第一位小数在结果数组中的位置?但是,在循环之前,结果数组`ans`中已经有两个元素:符号+整数部分组成的字符串(例如`"3."`)或者整数部分和小数点(例如`['3','.']`?不对,实际上代码中`ans`是一个数组,初始化时是`[sign + String(q) + "."]`,所以第一个元素就是一个字符串,比如`"3."`,然后进入循环后,我们才开始将小数部分的每一位数字作为单独的元素`push`进数组。 因此,在循环之前,`ans`的长度为1(因为只有一个字符串元素)。当我们设置`r_to_pos.set(r, 1)`时,这个位置1的含义是:这个余数是在计算小数部分第一位之前得到的(即初始余数)。 循环中,我们每计算一位小数,就将其加入`ans`(此时`ans`的长度增加)。当我们要记录新的余数的位置时,我们使用`ans.length`(因为下一位小数将在数组的下一个位置存储)。所以初始余数记录的位置1,实际上对应的是小数部分第一位数字在数组中的位置(因为第一位小数被加入后,数组长度变为2,所以初始余数对应的位置是1,表示第一位小数是由初始余数计算得到的,而第一位小数在数组中的索引是1(因为数组第一个元素是整数部分和小数点的组合字符串,第二个元素开始才是小数部分的第一位)。 但是,当循环中遇到重复余数时,我们通过`r_to_pos.get(r)`得到的位置,就是该余数第一次出现时对应的小数部分的位置(在结果数组中的索引)。然后我们将从这个位置开始到当前位置的小数部分用括号括起来表示循环节。 举例说明: 计算1/6: 分子=1,分母=6 整数部分:0,余数=1 -> 所以初始余数为1,记录在Map中:键1对应值1(位置1)。 然后进入循环: 第一次迭代: r=1 -> 乘以10变成10 计算:10/6=1(商),余数=4 将商('1')加入ans,此时ans = ["0.", "1"],长度为2。 检查余数4是否在Map中?不在,则Map.set(4, 2)(因为当前小数部分已经有一位,下一位的位置索引是2,但注意这个余数4对应的是下一位计算之前的状态) 第二次迭代: r=4 -> 乘以10变成40 计算:40/6=6(商),余数=4(因为40-6*6=4) 将商('6')加入ans,此时ans = ["0.","1","6"],长度为3。 检查余数4是否在Map中?存在,且之前记录的位置是2(即这个余数4是在计算第二位小数之前出现的,现在又出现了,说明从第二位开始循环)。 那么循环节是从位置2开始(即数组索引2?注意:我们的结果数组ans的第一个元素是"0.",第二个元素是'1'(第一位小数),第三个元素是'6'(第二位小数))。 所以我们要在位置2插入一个左括号,并在最后加上右括号:即从第二个元素(位置2)开始到当前(第三个元素)加上括号。 但注意,我们的Map中记录的位置2是指余数4第一次出现时,它对应的小数部分在结果数组中的位置是2(即第二位小数之前,所以实际上这个余数4将用于计算第二位小数,而第二位小数就是6,并且计算后余数又出现了4。因此,循环节就是第二位小数开始(即6循环)。所以结果应该是:0.1(6) 具体操作:我们返回的是:ans.slice(0, pos) + "(" + ans.slice(pos).join("") + ")" pos = 2(Map中取出余数4对应的位置) slice(0,2)取前两个元素:即["0.","1"],连接成字符串为"0.1" slice(2)取从索引2开始的元素:["6"],连接成字符串为"6" 然后加上括号:得到"0.1(6)" 注意:在循环中,我们记录余数的位置使用的是当前结果数组的长度(即`ans.length`),这个长度就是下一个要加入的小数位的索引(因为数组索引从0开始,而当前数组最后一个元素的下一个位置就是当前长度值)。但是初始余数记录的位置1,是因为在循环之前,我们已经初始化了结果数组(长度为1),所以初始余数对应的小数位(第一位)的索引是1(即数组的第二个位置)。因此,设置的值1实际上就是第一位小数在结果数组中的索引。 因此,`r_to_pos.set(r, 1);`的作用是记录整数部分计算后得到的初始余数(即小数部分计算前的余数)所对应的小数部分的位置(即第一位小数)在结果数组中的索引(为1)。这样,当这个余数再次出现时,我们就知道循环节从第一位小数开始。 但是,如果初始余数在后续再次出现,那就说明整个小数部分都是循环的,循环节从第一位小数开始。 例如:1/3 整数部分:0,余数1 -> 记录Map(1->1) 循环: 第一次:1*10=10,10/3=3,余1 -> 将'3'加入ans,此时ans = ["0.","3"],长度为2。 此时检查余数1在Map中存在(位置1),所以循环节从位置1开始(即第一位小数开始循环),所以结果是0.(3) 总结:`r_to_pos.set(r, 1);`是将整数部分除法后的余数(即小数部分计算的起点余数)记录在Map中,并将其位置标记为1(对应结果数组中小数点后第一位数字的位置索引)。这样,如果这个余数在后续的小数计算中再次出现,我们就可以确定循环节从第一位小数开始。 注意:初始余数记录的位置1实际上就是结果数组的索引1(因为结果数组的第一个元素是整数部分和小数点组成的字符串,所以小数部分的第一位数字在数组中的索引是1)。 因此,这行代码是处理循环小数时记录初始余数位置的关键步骤。 引用参考:引用[2]中说明了通过记录余数来检测循环的思想。 参考文献: [^1] Leetcode 166题解 [^2] LeetCode - Fraction to Recurring Decimal </think> ### `r_to_pos.set(r, 1);` 在函数中的作用 在 `fractionToDecimal` 函数中,**`r_to_pos.set(r, 1);` 的作用是记录整数部分除法后的初始余数在小数计算过程中的起始位置**。具体原理如下: 1. **记录余数位置**: - `r` 是整数部分计算后的余数(`numerator % denominator`) - `1` 表示该余数对应**小数部分的第一位**(即小数点后的起始位置) - 例如:计算 $\frac{1}{3}$ 时: - 整数部分:$1÷3=0$,余数 $r=1$ - 此时执行 `set(1, 1)`,表示余数 `1` 对应小数第一位[^2] 2. **循环节检测的关键**: ```javascript while (r) { r *= 10; q = Math.floor(r / denominator); r = r % denominator; // ... if (r_to_pos.has(r)) { // 检测到重复余数 const pos = r_to_pos.get(r); // 获取循环起始位置 return ... + "(" + ... + ")"; // 添加括号标记循环节 } r_to_pos.set(r, ans.length); // 记录新余数位置 } ``` - 当相同余数再次出现时(如 $\frac{1}{3}$ 计算中余数 `1` 重复出现),表明进入循环节 - 通过 `r_to_pos.get(r)` 确定循环开始位置(本例中返回 `1`) - 在位置 `1` 插入 `(`,形成 `0.(3)` 3. **为什么是位置 `1`**: - `ans` 数组初始状态:`[sign + q + "."]`(例如 `["0."]`) - 位置 `1` 对应小数部分第一个数字的存储位置: ``` 索引0: "0." // 整数部分和小数点 索引1: 第一位小数 ← 初始余数对应此位置 ``` ### 实际计算示例 以 $\frac{1}{6}$ 为例: 1. 整数部分:$1÷6=0$,余数 $r=1$ → `set(1, 1)` 2. 小数计算: | 步骤 | 操作 | 新余数 | 小数位 | 记录位置 | |------|-------------|--------|--------|--------------------| | 1 | $1×10÷6=1$ | $4$ | `1` | `set(4, 2)` | | 2 | $4×10÷6=6$ | $4$ | `6` | 检测到余数 `4` 重复 | 3. 通过 `get(4)` 获取位置 `2`,返回结果 `0.1(6)` ### 必要性说明 - **避免遗漏初始余数**:若不记录初始余数(如 $\frac{1}{3}$ 的余数 `1`),首次出现时无法检测循环 - **位置准确性**:使用 `1` 而非 `0`,因索引 `0` 已被整数部分占据[^1] - **循环节定位**:为后续插入括号 `( )` 提供精确的循环起始位置 [^1]: LeetCode 166题解中通过类似机制处理余数位置 [^2]: 余数记录是检测循环小数的核心方法
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