主定理(master theorem)学习小记

最新推荐文章于 2023-10-29 22:47:14 发布

zhouyuheng2003

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分类专栏： OI 复杂度主定理

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本文主要解析用主定理分析T(n)=aT(bn)+f(n)（a,b≥1）复杂度的方法。通过考虑T(n)的瓶颈问题，分aT(bn)>>f(n)、aT(bn)<<f(n)、f(n)=O(nlogba)三种情况进行分析，最后总结出不同条件下T(n)的复杂度。

前言

这是分析复杂度的一个玩意儿，东西不多，原本只要死记一下就好了，但是考虑到我不太好的记忆力，所以还是解析一遍比较好

正文

主定理是用来分析 $T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(\frac nb)+f(n)$ 满足 $a,b≥1a,b\ge1$ 的复杂度的
其实感觉也挺好分析的
考虑 $T (n)$ 的瓶颈问题
假设 $aT(nb)>>f(n)aT(\frac nb)>>f(n)$
那么 $T(1)=O(1),T(n)=aT(nb)=alogbn=Θ(nlogba)T(1)=\mathcal O(1),T(n)=aT(\frac nb)=a^{log_bn}=\Theta(n^{log_ba})$
因为要满足 $aT(nb)>>f(n)aT(\frac nb)>>f(n)$ ，所以此时的条件为 $f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0$
即当 $f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0$ 时， $T(n)=Θ(nlogba)T(n)=\Theta(n^{log_ba})$

假设 $aT(nb)<<f(n)aT(\frac nb)<<f(n)$
因为前者的 $n$ 会变小，使得 $f (x)$ 差的非常快，所以显然瓶颈在后者
所以当 $f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0$ 时， $T(n)=Θ(f(n))T(n)=\Theta(f(n))$

然后我们考虑一下 $f(n)=O(nlogba)f(n)=\mathcal O(n^{log_ba})$ 的情况
那么 $T(1)=O(1),T(n)=aT(nb)+O(nlogba)T(1)=\mathcal O(1),T(n)=aT(\frac nb)+O(n^{log_ba})$
这个东西列出来其实不好算，但是我们可以脑补一下这个递归大概有logn层，也许会想到假如 $a 、 b$ 的数值极端怎么办，但其实后面的 $n^{log_ba}$ 已经保证了结论的正确性，大雾
所以最后的复杂度是 $Θ(f(n)logn)\Theta(f(n)logn)$
在实际写的时候可以设 $f(n)=O(nlogbalogkn)f(n)=\mathcal O(n^{log_ba}log^kn)$ ，那么 $T(n)=Θ(nlogbalogk+1n)T(n)=\Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n)$

总结

对于 $T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(\frac nb)+f(n)$ ，满足 $a,b≥1a,b\ge1$
$T(n)={Θ(nlogba)f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0Θ(nlogbalogk+1n)f(n)=O(nlogbalogkn)Θ(f(n))f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0T(n)=\begin{cases} \Theta(n^{log_ba})&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0\\ \Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n)&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba}log^kn)\\ \Theta(f(n))&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0 \end{cases}$