基于遗传算法的增广拉格朗日松弛法：求解一个带有不等式约束的二次优化问题

不等式约束二次优化问题问题描述

拉格朗日乘数法

梯度=0求最值，有约束和没有约束的条件；
给函数加了约束条件然后求最值，之前的梯度=0的点就不好用了，只需要对原来的约束做变形，然后加到目标函数中去，其中关键的是引入了拉格朗日乘子lanbuta。
如果约束条件简单，比如只有一个，然后再求梯度等于0，就得到了极值点，对x和y的求偏导，此时偏导中有lanbuda。
如果约束条件复杂，比如有多个，这个时候是没有梯度为零的情况，所以没法用偏导方法了。
松弛lanbuda大于0，求lanbuda的最大值条件下的f(x)最小值，紧致lanbuda=0；

交叉熵就是一个凸问题；
只要是对偶问题，就是凸问题；

拉格朗日松弛法

拉格朗日松弛法是一种优化方法，用于处理具有约束条件的优化问题。它通过将约束条件引入目标函数，将原问题转化为一个无约束问题或一个更简单的约束问题。

拉格朗日松弛法求解不等式约束二次优化问题

基本过程

拉格朗日乘子法通过构造拉格朗日函数并求解优化问题，同时根据约束违反程度更新拉格朗日乘子，逐步逼近原始问题的最优解。KKT条件提供了一套理论框架，确保在最优解处所有条件都得到满足。这种方法在处理不等式约束的优化问题时非常有效，因为它将约束条件直接融入到优化过程中，而不是在事后检查约束是否满足。

KKT理论

优化过程具体步骤

优化算法（如梯度下降、牛顿法、BFGS等）来找到最优解

示例代码

增广拉格朗日函数

增广拉格朗日函数（Augmented Lagrangian Function）确实是拉格朗日松弛法（Lagrange Relaxation）的一种典型情况，以提高在非线性优化问题中的收敛性和稳定性。

GA算法求解增广拉格朗日函数

示例问题

基于python代码求解增广拉格朗日函数示例

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from scipy.optimize import NonlinearConstraint
import random

# 目标函数
def objective(x, Q, c):
    return 0.5 * np.dot(x, np.dot(Q, x)) + np.dot(c, x)

# 不等式约束函数
def inequality_constraints(x, g):
    return np.array([g_i(x) for g_i in g])

# 增广拉格朗日函数
def augmented_lagrangian(x, Q, c, lambda_vals, rho, g):
    obj_val = objective(x, Q, c)
    constraint_vals = inequality_constraints(x, g)
    penalty = rho * 0.5 * np.sum(np.maximum(constraint_vals, 0)**2)
    lagrangian_term = np.sum(lambda_vals * np.maximum(constraint_vals, 0))
    return obj_val + penalty + lagrangian_term

# 遗传算法
def genetic_algorithm(objective, bounds, pop_size=100, generations=100):
    # 初始化种群
    population = [np.array([random.uniform(b[0], b[1]) for b in bounds]) for _ in range(pop_size)]
    
    for generation in range(generations):
        # 计算适应度
        fitness_scores = [objective(x) for x in population]
        
        # 选择
        selected_indices = np.argsort(fitness_scores)[:int(pop_size * 0.5)]
        selected_population = [population[i] for i in selected_indices]
        
        # 交叉
        new_population = []
        while len(new_population) < pop_size:
            parent1, parent2 = random.sample(selected_population, 2)
            child = (parent1 + parent2) / 2
            new_population.append(child)
        
        # 变异
        for x in new_population:
            for i in range(len(x)):
                if random.random() < 0.1:  # 变异概率
                    x[i] += random.gauss(0, 0.1)  # 高斯变异
                    x[i] = np.clip(x[i], bounds[i][0], bounds[i][1])
        
        population = new_population
    
    # 返回最优解
    best_idx = np.argmin(fitness_scores)
    return population[best_idx]

# 主函数
def augmented_lagrangian_method(Q, c, g, bounds, rho=1.0, max_iter=100, epsilon=1e-6):
    n = len(c)
    x = np.zeros(n)
    lambda_vals = np.zeros(len(g))
    
    for k in range(max_iter):
        # 定义当前的增广拉格朗日函数
        current_obj = lambda x: augmented_lagrangian(x, Q, c, lambda_vals, rho, g)
        
        # 使用遗传算法搜索最优解
        x = genetic_algorithm(current_obj, bounds)
        
        # 计算约束值
        constraint_vals = inequality_constraints(x, g)
        
        # 更新拉格朗日乘子
        lambda_vals = np.maximum(lambda_vals + rho * constraint_vals, 0)
        
        # 检查收敛条件
        if np.sum(np.maximum(constraint_vals, 0)) < epsilon:
            break
        
        # 更新罚参数
        rho *= 1.1  # 例如，每次迭代增加10%
    
    return x, objective(x, Q, c), inequality_constraints(x, g)

# 示例问题
Q = np.array([[4, 1], [1, 3]])
c = np.array([1, 2])
g = [
    lambda x: x[0]**2 + x[1]**2 - 1,  # x1^2 + x2^2 <= 1
    lambda x: x[0] - 2 * x[1] + 1    # x1 - 2x2 + 1 <= 0
]
bounds = [(-2, 2), (-2, 2)]

# 求解
x_opt, f_opt, g_opt = augmented_lagrangian_method(Q, c, g, bounds)

print("最优解 x:", x_opt)
print("最优目标函数值 f(x):", f_opt)
print("约束值 g(x):", g_opt)

可视化函数结果示例结果

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 目标函数
def objective(x, Q, c):
    # 确保 x 是一个列向量
    if x.ndim == 1:
        x = x[:, np.newaxis]
    return 0.5 * x.T @ Q @ x + c.T @ x

# 不等式约束函数
def g1(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 1  # x1^2 + x2^2 <= 1  (单位圆)

def g2(x):
    return x[0] - 2 * x[1] + 1    # x1 - 2x2 + 1 <= 0 (直线)

# 绘制函数
def plot_functions(Q, c, bounds):
    # 生成 x1, x2 的网格
    x1 = np.linspace(bounds[0][0], bounds[0][1], 100)
    x2 = np.linspace(bounds[1][0], bounds[1][1], 100)
    X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)
    
    # 计算目标函数值
    Z_obj = np.zeros(X1.shape)
    for i in range(X1.shape[0]):
        for j in range(X1.shape[1]):
            Z_obj[i, j] = objective(np.array([X1[i, j], X2[i, j]]), Q, c)
    
    # 计算约束函数值
    Z_g1 = g1(np.array([X1, X2]))
    Z_g2 = g2(np.array([X1, X2]))
    
    # 创建图形
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
    
    # 绘制目标函数的等高线图
    cs_obj = ax.contour(X1, X2, Z_obj, levels=15, cmap='viridis', linestyles='solid')
    ax.clabel(cs_obj, inline=1, fontsize=10, fmt=r'$f(x) = %.1f$')
    
    # 绘制 f(x) = 0.46 的等高线
    cs_046 = ax.contour(X1, X2, Z_obj, levels=[0.46], colors='m', linestyles='-.')
    plt.clabel(cs_046, inline=1, fontsize=10, fmt=r'$f(x) = 0.46$')
    
    # 绘制第一个约束函数的等高线 (g1(x) = x1^2 + x2^2 - 1 <= 0)
    cs_g1 = ax.contour(X1, X2, Z_g1, levels=[0], colors='r', linestyles='--')
    plt.clabel(cs_g1, inline=1, fontsize=10, fmt=r'$g_1(x) = 0$')
    
    # 绘制第二个约束函数的等高线 (g2(x) = x1 - 2x2 + 1 <= 0)
    cs_g2 = ax.contour(X1, X2, Z_g2, levels=[0], colors='b', linestyles='--')
    plt.clabel(cs_g2, inline=1, fontsize=10, fmt=r'$g_2(x) = 0$')
    
    # 绘制可行区域 (满足约束条件的区域)
    Z_feasible = np.where((Z_g1 <= 0) & (Z_g2 <= 0), 0, np.nan)
    ax.contourf(X1, X2, Z_feasible, levels=[-1, 0], colors='gray', alpha=0.5, label='Feasible Region')
    
    # 设置标题和标签
    ax.set_title('Objective and Constraint Functions')
    ax.set_xlabel('x1')
    ax.set_ylabel('x2')
    
    # 添加图例
    red_line = plt.Line2D((0,1),(0,0), color='r', linestyle='--', label=r'$g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1 = 0$')
    blue_line = plt.Line2D((0,1),(0,0), color='b', linestyle='--', label=r'$g_2(x) = x_1 - 2x_2 + 1 = 0$')
    gray_patch = plt.Rectangle((0, 0), 1, 1, fc="gray", alpha=0.5, label='Feasible Region')
    magenta_line = plt.Line2D((0,1),(0,0), color='m', linestyle='-.', label=r'$f(x) = 0.46$')
    ax.legend(handles=[red_line, blue_line, gray_patch, magenta_line], loc='upper right')
    
    # 显示网格
    plt.grid(True)
    
    # 显示图表
    plt.show()

# 示例问题
Q = np.array([[4, 1], [1, 3]])
c = np.array([1, 2])
bounds = [(-2, 2), (-2, 2)]

# 绘制目标函数和约束函数
plot_functions(Q, c, bounds)

绘制出来的结果如下