AcWing 900. 整数划分

1、题目描述

一个正整数nn可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nkn=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk,k≥1n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。

现在给定一个正整数n，请你求出n共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对109+7109+7取模。

数据范围

1≤n≤10001≤n≤1000

输入样例:

5

输出样例：

7

2、分析

可以看成是 完全背包问题，因为每种数字可以选无限次。

/*
    完全背包问题：每种数可以选多次（无限次）
    f[i][j] =   f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + ... + f[i-1][j-k*i]
    f[i][j-i] =             f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + f[i-1][j-3*i] + ... + f[i-1][j-k*i] + f[i-1][j-(k+1)*i]
    ==> f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
*/ 

3、代码

/*
    完全背包问题：每种数可以选多次（无限次）
    f[i][j] =   f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + ... + f[i-1][j-k*i]
    f[i][j-i] =             f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + f[i-1][j-3*i] + ... + f[i-1][j-k*i] + f[i-1][j-(k+1)*i]
    ==> f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
*/
import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 1010, mod = (int)1e9 + 7;
    static int[][] f = new int[N][N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
        int n = in.nextInt();
        
        //初始化
        //f[i][j] 表示所有从前i个数中选总和不超过j的选法的集合
        f[0][0] = 1;
        
        for(int i = 1;i <= n;i ++) {
            f[i][0] = 1;
            for(int j = 0;j <= n;j ++) {
                f[i][j] = f[i-1][j] % mod; //不选第i个
                if(j >= i) f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j-i]) % mod;
            }
        }
        System.out.println(f[n][n]);
    }
}