最长上升子序列

                                                                     

原文地址

最长上升子序列

 

 

时间限制: 10 Sec   内存限制:128 MB

题目描述

给定一个序列,初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中,每次将一个数字插入到一个特定的位置。我们想知道此时最长上升子序列长度是多少?

输入

第一行一个整数N,表示我们要将1到N插入序列中,接下是N个数字,第k个数字Xk,表示我们将k插入到位置Xk(0<=Xk<=k-1,1<=k<=N)

输出

1行,表示最长上升子序列的长度是多少。

样例输入

3

0 0 2

样例输出

2

提示

100%的数据 n<=10000

 

第一个念头就是用动态规划,很显然,这道题的转移方程非常非常简单,一目了然,先准备一个数组b

b[i]=1;
,从a[1]开始搜到i的最长上升子序列。

这句赋值语句固然很好理解,每一个元素,也可以视为一个符合题意的子序列。

b[2]呢?

如图,它显然比a[1]高,在执行如下语句时

for(j=1;j<i;j++)   if(a[i]>a[j])

j小于i,也就是2,目前符合条件的只有a[1]a[1]又通过了判断语句,它确实小于a[i],执行下一条语句:

b[i]=max(b[i],b[j]+1);

很显然:b[2]显然原来是1,当它和b[1]+1比时,1当然比2小,所以,b[2]自然就是2了。

再来看看时间复杂度:

很明显,时间复杂度为O(n^2)


那,这个方法够快吗?还可以,但仍然有些不尽人意。

代码如下O(n^2):

 

  #include<iostream>  
  using namespace std;
  int i,j,n,a[100],b[100],max;    
  int main()  
  {
     cin>>n;
     for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i];  
     b[0]=1; //初始化,以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1  
     for(i=1;i<n;i++)  
     {  
        b[i]=1;//b[i]最小值为1
       for(j=0;j<i;j++)  
            if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);
     }  
    for(max=i=0;i<n;i++) if(b[i]>max) max=b[i];  
     cout<<max<<endl;
 }

那么,还有没有更快的方法呢?

当然有,有没有想到过,为什么要记录数据呢?

我们可以模拟一个stack

在有大量数据的情况下,这算法效率极高

但是,怎么来优化程序呢?

我们可以这样来模拟:

每输入一个数,如果这个数大于栈顶的那个数,于是把它推入栈中。

 

 

但是,如果这个数大于栈顶呢,这不证明它不可以更新栈中的

某个元素,这时,就可以运用二分查找了。

     有人可能会问:这个序列是无序的啊。没错,但查找的是stack里面的元素,而这个栈里的所有元素,都是严格递增的,所以,用二分查找可以把问题缩减为O(nlogn)

     有些不符合逻辑,不是吗?15的下标比171820都大,为什么能插入呢?但是如果仔细想一想,这好像并不影响正常答案,但如果要输出最长上升子序列,那就要改一改这个算法了。

整个二分查找代码如下:

else

{

    int l=1,h=s,m;

    while(l<=h)

    {

         m=(l+h)/2;

         if(t>a[m]) l=m+1;

         else h=m-1;

    }

    a[l]=t;

}

由此,这个查找算法才得以下降到logn,于是,整体也就是O(nlogn)

具体操作如下:

每次取栈顶元素和读到的元素做比较,如果大于,则将它入栈;如果小于,则二分查找栈中的比它大的第1个数,并替换它。最长序列长度即为最后模拟的大小。

这也是很好理解的,对于ij,如果i <ja[i] < a[j],a[i]替换a[j],长度虽然没有改变但a'潜力'增大了。

代码(同上):

 

  #include <iostream>
  using namespace std; 
  int i,j,n,s,t,a[100001];
  int main()
  { 
      cin>>n;
      a[0]=-1000000;
      for(i=0;i<n;i++)
      {
        cin>>t;
         if(t>a[s]) a[++s]=t;
         else
         {
             int l=1,h=s,m;
             while(l<=h)
             {
                 m=(l+h)/2;
                 if(t>a[m]) l=m+1;
                 else h=m-1;
             }
            a[l]=t;
         }
     }
     cout<<s<<endl;
 }

 

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