nefu488餐巾计划问题【网络流24题】最小费用流

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description

    一个餐厅在相继的N 天里,每天需用的餐巾数不尽相同。假设第i天需要ri块餐巾(i=1,2,…,N)。餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为p分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需m天,其费用为f 分;或者送到慢洗部,洗一块需n 天(n > m),其费用为s < f 分。每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。
试设计一个算法为餐厅合理地安排好N 天中餐巾使用计划,使总的花费最小。
    编程找出一个最佳餐巾使用计划.

input

多组数据输入.
每组输入第1 行有6 个正整数N,p,m,f,n,s。N 是要安排餐巾使用计划的天数;p 是每块新餐巾的费用;m 是快洗部洗一块餐巾需用天数;f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用;n是慢洗部洗一块餐巾需用天数;s是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。接下来的N 行是餐厅在相继的N 天里,每天需用的餐巾数。

output

每组输出餐厅在相继的N 天里使用餐巾的最小总花费

sample_input

3 10 2 3 3 2
5
6
7

sample_output

145

【问题分析】



网络优化问题,用最小费用最大流解决。


【建模方法】


把每天分为二分图两个集合中的顶点Xi,Yi,建立附加源S汇T。


1、从S向每个Xi连一条容量为ri,费用为0的有向边。
2、从每个Yi向T连一条容量为ri,费用为0的有向边。
3、从S向每个Yi连一条容量为无穷大,费用为p的有向边。
4、从每个Xi向Xi+1(i+1<=N)连一条容量为无穷大,费用为0的有向边。
5、从每个Xi向Yi+m(i+m<=N)连一条容量为无穷大,费用为f的有向边。
6、从每个Xi向Yi+n(i+n<=N)连一条容量为无穷大,费用为s的有向边。


求网络最小费用最大流,费用流值就是要求的最小总花费。


【建模分析】


这个问题的主要约束条件是每天的餐巾够用,而餐巾的来源可能是最新购买,也可能是前几天送洗,今天刚刚洗好的餐巾。
每天用完的餐巾可以选择送到快洗部或慢洗部,或者留到下一天再处理。


经过分析可以把每天要用的和用完的分离开处理,建模后就是二分图。二分图X集合中顶点Xi表示第i天用完的餐巾,其数量为ri,所以从S向Xi连接容量为ri的边作为限制。
Y集合中每个点Yi则是第i天需要的餐巾,数量为ri,与T连接的边容量作为限制。
每天用完的餐巾可以选择留到下一天(Xi->Xi+1),不需要花费,送到快洗部(Xi->Yi+m),费用为f,送到慢洗部(Xi->Yi+n),费用为s。
每天需要的餐巾除了刚刚洗好的餐巾,还可能是新购买的(S->Yi),费用为p。


在网络上求出的最小费用最大流,满足了问题的约束条件(因为在这个图上最大流一定可以使与T连接的边全部满流,其他边只要有可行流就满足条件),而且还可以保证总费用最小,就是我们的优化目标。

所以说……网络流的关键在于建图

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int oo=1e9;//无穷大
const int maxm=1111111;//边的最大数量,为原图的两倍
const int maxn=2222;//点的最大数量

int node,src,dest,edge;//node节点数,src源点,dest汇点,edge边数
int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头,p记录可行流上节点对应的反向边,dis计算距离

struct edgenode
{
    int to;//边的指向
    int flow;//边的容量
    int cost;//边的费用
    int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];

void prepare(int _node,int _src,int _dest);
void addedge(int u,int v,int f,int c);
bool spfa();

inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}

inline void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
    node=_node;
    src=_src;
    dest=_dest;
    for (int i=0; i<node; i++)
    {
        head[i]=-1;
        vis[i]=false;
    }
    edge=0;
}

void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
    edges[edge].flow=f;
    edges[edge].cost=c;
    edges[edge].to=v;
    edges[edge].next=head[u];
    head[u]=edge++;
    edges[edge].flow=0;
    edges[edge].cost=-c;
    edges[edge].to=u;
    edges[edge].next=head[v];
    head[v]=edge++;
}

bool spfa()
{
    int i,u,v,l,r=0,tmp;
    for (i=0; i<node; i++) dis[i]=oo;
    dis[q[r++]=src]=0;
    p[src]=p[dest]=-1;
    for (l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?l=0:1))
    {
        for (i=head[u=q[l]],vis[u]=false; i!=-1; i=edges[i].next)
        {
            if (edges[i].flow&&dis[v=edges[i].to]>(tmp=dis[u]+edges[i].cost))
            {
                dis[v]=tmp;
                p[v]=i^1;
                if (vis[v]) continue;
                vis[q[r++]=v]=true;
                if (r>=maxn) r=0;
            }
        }
    }
    return p[dest]>=0;
}

int spfaflow()
{
    int i,ret=0,delta;
    while (spfa())
    {
        //按记录原路返回求流量

        for (i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[edges[i].to])
        {
            delta=min(delta,edges[i^1].flow);
        }
        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])
        {
            edges[i].flow+=delta;
            edges[i^1].flow-=delta;
        }
        ret+=delta*dis[dest];
    }
    return ret;
}
int main()
{
   // freopen("cin.txt","r",stdin);
    int N,p,m,f,n,s;
    while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&N,&p,&m,&f,&n,&s))
    {
        prepare(N*2+2,0,N*2+1);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            int r;
            scanf("%d",&r);
            addedge(src,i,r,0);
            if(i!=N)
               addedge(i,i+1,oo,0);
            addedge(i+N,dest,r,0);
            addedge(src,i+N,oo,p);
            if(i+m<=N)
               addedge(i,i+m+N,oo,f);
            if(i+n<=N)
               addedge(i,i+n+N,oo,s);
        }
        printf("%d\n",spfaflow());
    }
    return 0;
}


### 关于东北林业大学计算机网络实验二的相关资料 根据用户的提问,目前并未提供具体的关于东北林业大学(NEFU)计算机网络实验二的直接参考资料。然而,可以从一般性的计算机网络实验内容出发,结合常见的实验指导材料和相关知识点进行推测。 #### 1. 计算机网络实验的基本构成 通常情况下,高校开设的《计算机网络》课程会涉及一系列实验,这些实验旨在帮助学生理解并掌握计算机网络的基础理论和技术。实验的内容可能包括但不限于以下方面: - **IP地址配置与子网划分**:学习如何手动设置主机的IP地址、子网掩码以及默认网关,并验证其连通性[^4]。 - **路由协议配置**:熟悉静态路由和动态路由协议(如RIP、OSPF)的工作原理及其配置方法。 - **交换机与路由器的基本操作**:了解二层交换机和三层路由器的功能差异,学会使用命令行接口对其进行初始化配置。 - **网络安全基础**:探索防火墙规则设定、访问控制列表(ACLs)编写等方面的知识点。 对于“实验二”,具体主需依据实际教学安排来定。如果尚未明确,则可参考其他院校类似阶段的学习重点——往往围绕局域网组建或者广域互联展开讨论。 #### 2. 可能涉及到的技术细节 以下是几个常见场景下可能会用到的一些技术和工具: ##### (a) 使用Wireshark抓包分析量 为了让学生更好地观察真实环境中的数据传输过程,很多老师会选择布置有关捕获并解析TCP/IP五元组的任务。例如,在客户端向Web服务器发起请求时记录整个交互程,进而识别出三次握手建立连接的过程以及GET消息的具体格式等等[^5]。 ```bash tshark -i eth0 tcp port 80 ``` 上面这条指令展示了如何借助TShark程序监听指定网卡上的HTTP通信情况。 ##### (b) Cisco Packet Tracer仿真平台练习拓扑搭建 Packet Tracer是由思科公司推出的一款虚拟实验室软件,它允许使用者无需购买昂贵硬件设备即可完成复杂的网络架构设计工作。假设本次试验的目标之一就是构建一个多分支办公室间相互通讯的小型企业模型,那么就可以按照如下步骤执行: 1. 添加必要的节点元件; 2. 绘制连线关系图谱; 3. 输入相应的参数属性值; 4. 启动测试脚本来检验预期效果是否达成。 ![packet-tracer](https://example.com/packet_tracer_screenshot.png) 注意这里仅作为一个示意链接,请替换为真实的图片资源路径。 #### 3. 编写标准实验报告模板建议 无论哪个学校的考核方式有何区别,一份完整的实验报告都应该至少包含以下几个组成部分: - 封面页填写基本信息; - 摘要概述整体目的意义; - 正文详述每一步骤的操作指南及截图佐证; - 结论总结收获体会; - 致谢表达感激之情(视具体情况而定)。 --- ### 提供一段Python代码片段用于辅助数据分析 有时还需要对收集的数据集做进一步统计处理,下面给出了一段简单的例子用来计算平均响应延迟时间: ```python import pandas as pd def calculate_average_latency(file_path): df = pd.read_csv(file_path) avg_latency = df['Latency'].mean() return round(avg_latency, 2) if __name__ == "__main__": file_name = 'network_data.csv' result = calculate_average_latency(file_name) print(f"The average network latency is {result} ms.") ``` ---
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