[线性规划与网络流24题] 餐巾计划问题

CodeVS 1237。

粗浅地学习了带上下界的网络流的人的代码的时间开销：1472ms。

领悟二分图精髓的人的代码的时间开销：18ms。

两种建图的顶点数相同，我的边数是后者的2/3。但是增广的次数可能很多。

优雅的模型

约束是每天的餐巾够用，目标是使费用最小。每天的餐巾有三种来源：新买的，m天前送到快洗部的，n天前送到慢洗部的。每天的餐巾有三种去路：延期处理，送到快洗部，送到慢洗部。网络流模型擅长处理的是小于等于号，然而这里是“够用”即大于等于。(1) 如果总是存在一种刚好够用的方案，它显然优于其他有冗余的方案。今天多用一些餐巾的好处是能多洗一些餐巾以备后用……这是不必要的。今天多用的餐巾如果是买的，要用的那天再买，能省去清洗费用；如果是洗的，从它被使用的那天起延期处理，今天清洗即可，今天用不着使用它。(2) 刚好够用的方案总是存在。所以，根据(1)(2)，在费用最小的目标下，“够用”可以改成“恰好够用”。

1. 上面的分析中，我们区分了“今天使用的”和“今天清洗的”。把“今天清洗的”作为X集合，“今天使用的”作为Y集合，我们能够建立二分图模型。今天使用的=今天清洗的=今天的需求，S->Xi，Yi->T，容量为ri，费用为0，求最大流把它们流满即满足约束。它们必能满流，因为其他边的容量都是正无穷的，见下文。
2. 新买的：S->Yi，容量inf，费用p。
3. 快洗：Xi->Y(i+m)，i+m<=N，容量inf，费用f。
4. 慢洗：Xi->Y(i+n)，i+n<=N，容量inf，费用s。
5. 延期处理：Xi->X(i+1)，i< N，容量inf，费用0。

就是这样。

这个模型使我欣赏的地方：
1. 通过分析，把>=转为=，由于流的容量限制（<=），流量最大时满足了约束（取得等号）。“最小费用”、“最大流”两个约束很好地统一了。
2. “从源点流出的=流入汇点的”——广义的流量平衡。平时我们讲流量平衡，都是以一个顶点为对象，流入=流出。别忽视了整体。

我的模型

写完上面的，自惭形秽。

1. 每个点i拆成两个，中间连边，容量为ri，费用为0。即in(i)->out(i)。
2. S->in(i)，容量inf，费用为p。
3. out(i)->in(i+m)，i+m<=N，容量inf，费用为f。
4. out(i)->in(i+n)，i+n<=N，容量inf，费用s。
5. out(i)->out(i+1)，i< N，容量inf，费用0。
6. out(N)->T，容量inf，费用为0。

我拆点不是看到了二分图，而是为了给节点赋容量。

对比两种模型，我的out很像二分图里的X，in很像二分图里的Y。实际上，用上下界网络流的方法，分离必要弧，建立附加源S’、汇T’