矩阵

定理一：设A是一个m×n的矩阵，对A施行一次行变换，相当于A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

定理二：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，P3……Pn，使得A = P1×P2×P3×……×Pn；

                推论1：方阵A可逆的充分必要条件是A～E（行变换）  

                推论2：m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得PAQ = B   

 定理三：若A~B；则R(A)=R(B)

定理四：n元线性方程组Ax = b

                (1)，无解的充分必要条件是R（A）< R(A,b);

                (2)，有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A，b) = n

                (3)，有无穷多解的充分必要条件是R（A） = R（A，b）<n

定理五：线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A) = R(A，b) 

定理六：n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R（A）< n

定理七：矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R（A,B）

定理八：设AB=C，则R(C) <=min{R(A),R(B)}

矩阵九：矩阵方程AX=0；只有零解的充分必要条件是R(A) = n

对于m*n矩阵而言，总可以经过初等变换（行变换和列变换），把它化成标准形式。

矩阵可以通过行变换可以得到行阶梯矩阵，其特点是：可化一条接体线，线的下方全为0；每个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的后面第一个范围非零元，也就是非领航的第一个非零元。行阶梯矩阵还可以换为最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的元素都为0.

矩阵的标准形式由m,n,r三个参数唯一决定，其中r是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等价的矩阵，可以构成一个集合，成为一个等价类，标准型F是这个等价类中形状最为简单的矩阵。

等价类：m.n,r

行阶梯矩阵特点：

1，刻画一条阶梯线，阶梯线的下方全为0

2，每个台阶一行

3，非零行的第一个元素为非零元

行最简形特点：

在行阶梯矩阵的特点上有以下特点：

1，非零行的第一个元素为1

2，第一个非零元所在的列的其他元素为0

矩阵的秩：A中不为0的最大子式的最大个数，成为矩阵A的秩。