经典动态规划的问题来理解无后效性

我们先看一下题目，从题目来进行切入

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。

示例：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
这是一道非常经典的动态规划类题目，需要我们掌握动态规划问题设计状态的技巧（无后效性），并且需要知道如何推导状态转移方程，最后再去优化空间。
什么叫无后效性？

无后效性

为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做「无后效性」。
换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的「状态」，图中的边则对应状态之间的「转移」，转移的选取就是动态规划中的「决策」

设计状态思路

把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。

而本题可以看成以下几个子问题：

例如，示例 1 输入数组是 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，我们可以求出以下子问题：
子问题 1：经过 -2 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：经过 1 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：经过 −3 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：经过 4 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：经过 −1 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：经过 2 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：经过 1 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：经过 −5 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：经过 4 的连续子数组的最大和是多少。

一共九个子问题，但是每一个子问题均具有不确定性的地方（有后效性）,如:

经过 −3 的连续子数组
对于数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
我们可以看出-3是[-2,1,-3]的第三个元素，是[-1,-3]的第二个元素,
是[-3,4,-1]的第一个元素

那么我们需要将这些不确定性转化为确定，于是我们将本题再次划分为若干个子问题：

子问题 1：以 -2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 −3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 -1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 −5 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少。

与之前划分的九个子问题相比，多了结尾两个字
一旦我们加上结尾两个字，就将所有的不确定因素转化为了确定性因素

• 以 -2 结尾的连续子数组只有[-2]
• 以 1 结尾的连续子数组是[-2,1]和[1]，此时我们只需要比较[-2,1]和[1]那个较大即可

定义状态（定义子问题）

我们以dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和
接下来我们就可以定义状态转移方程（描述子问题之间的联系）
根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i]。
假设数组 nums 的值全都严格大于 0，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]，于是就分为以下两种情况：

• 如果 dp[i - 1] > 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
• 如果 dp[i - 1] <= 0，那么 nums[i] 加上前面的数 dp[i - 1] 以后值不会变大。于是 dp[i] 「另起炉灶」，此时单独的一个 nums[i] 的值，就是 dp[i]。

于是我们的状态转移方程就变为：

dp[i]=max{nums[i],dp[i-1]+nums[i]}

初始值

dp[0] 根据定义，只有 1 个数，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。

输出值

把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都走一遍，取最大值
按照这种思路，我们开始编写代码：

public class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        // dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            if (dp[i - 1] > 0) {
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
            } else {
                dp[i] = nums[i];
            }
        }

        // 也可以在上面遍历的同时求出 res 的最大值，这里我们为了语义清晰分开写，大家可以自行选择
        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}