牛牛与数组DP

最新推荐文章于 2024-06-14 00:14:48 发布

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本文探讨了一种算法，用于计算满足特定条件的数组数量，条件包括数组长度、元素范围及元素间的关系。采用动态规划策略，通过计算不符合条件的数组数量来间接求解，避免了直接计算中的遗漏问题。最终，通过三重循环和优化，实现了时间复杂度为O(n^2logn)的解决方案。

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/21738
来源：牛客网

牛牛喜欢这样的数组：
1：长度为n
2：每一个数都在1到k之间
3：对于任意连续的两个数A，B，A<=B 与（A % B != 0）两个条件至少成立一个

请问一共有多少满足条件的数组，对1e9+7取模

思路：如果正着计算容易出现遗漏，所以我们只用找 “A>B&&A是B的倍数”的方案数，然后用总数减去这个方案数就是答案。

思考用dp来解决这个问题，设dp[i][j]表示长度为 i 的数组第 i 位为 j 的符合要求的数组方案数。(1<=i<=n 1<=j<=k)

代码逻辑：n个数的数组，先初始化dp[1][i] = 1。三重循环，通过优化计算得时间复杂度为O(n^2 logn)，即可以计算出

T(n) = 5*10^6。在循环中先计算长度为 i 时所有可能的数组个数（不考虑题目的条件），用sum记录。然后计算确定 j 时的（A>B && A是B的倍数）的方案数，用dum记录。然后用sum-dum，计算出dp[i][j]。

（计算中别忘了取模）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e6+10;
const int modd = 1e9+7;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[20][100000];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    ll ans = 0;
    for(int j = 1;j <= k;++j){
        dp[1][j] = 1;
    }
    int sum = 0,dum = 0;
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        sum = 0;
        for(int j = 1;j <= k;++j){
            sum += dp[i-1][j];
            sum %= modd;
        }
        for(int j = 1;j <= k;++j){
            dum = 0;
            for(int x = 2*j;x <= k;x+=j){
                dum += dp[i-1][x];
                dum %= modd;
            }
            dp[i][j] = (sum-dum)%modd;
        }
    }
    for(int i = 1;i <= k;i++){
        ans += dp[n][i];
        ans %= modd;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}