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最新推荐文章于 2020-03-22 20:07:59 发布

郑三原阿

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分类专栏：算法竞赛进阶指南 dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhengyuan233/article/details/79669768

算法竞赛进阶指南 dp 专栏收录该内容

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本文介绍一种解决特定矩阵路径问题的动态规划方法。针对一个n*m的矩阵，寻找两条从左上角到右下角的路径，使得这两条路径上的元素之和最大，且相同元素仅能被计算一次。通过详细的代码实现与状态转移方程解析，展示如何高效地求解此问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给你一个n*m的矩阵求两条从（1,1）开始至（n,m) 的路径使得两条路径所经过的数值和最大同一元素只能累加一次且只可往右或往下走不可往上或往左走

思路：如果直接循环枚举两条路径所经过的位置状态转移无法描述且无法处理重复元素

根据上一题的启发可用dp[i][x1][x2]表示第i步第一条路径的横坐标和第二条路径的横坐标

因为两条路径是从左上往右下单向的不可往回走所以两条路径上任意一点x1+y1 == x2+y2 == n+m-2

所以可根据步数以及此时所处对位置进行状态转移每走一步两条路径共4种情况分类讨论即可

写的比较丑暴力讨论出了所有情况

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int dp[100][51][51];
int tu[51][51];
int main()
{
    int n,m;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> tu[i][j];
        }
    }
    dp[0][1][1] = 0;
    for(int i = 0; i < n + m - 2; i++)
    {
        for(int x1 = 1; x1 <= min(i+1,n); x1++)
        {
            for(int x2 = 1; x2 <= min(i+1,n); x2++)
            {
                int y1 = i + 2 - x1;
                int y2 = i + 2 - x2;
                if(x1 == x2)
                {
                    dp[i+1][x1][x2] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1][y1+1],dp[i+1][x1][x2]);
                    dp[i+1][x1+1][x2] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1+1][y1]+tu[x2][y2+1],dp[i+1][x1+1][x2]);
                    dp[i+1][x1+1][x2+1] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1+1][y1],dp[i+1][x1+1][x2+1]);
                    dp[i+1][x1][x2+1] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1][y1+1] + tu[x2+1][y2],dp[i+1][x1][x2+1]);
                }
                else
                {
                    if(y2 + 1 == y1 && x1 + 1 == x2)
                        dp[i+1][x1+1][x2] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1+1][y1],dp[i+1][x1+1][x2]);
                    else
                        dp[i+1][x1+1][x2] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1+1][y1] + tu[x2][y2+1],dp[i+1][x1+1][x2]);
                    if(y1 + 1 == y2 && x2 + 1 == x1)
                        dp[i+1][x1][x2+1] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x2+1][y2],dp[i+1][x1][x2+1]);
                    else
                        dp[i+1][x1][x2+1] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1][y1+1] + tu[x2+1][y2],dp[i+1][x1][x2+1]);
                    dp[i+1][x1+1][x2+1] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1+1][y1] + tu[x2+1][y2],dp[i+1][x1+1][x2+1]);
                    dp[i+1][x1][x2] = max(dp[i][x1][x2] + tu[x1][y1+1] + tu[x2][y2+1],dp[i+1][x1][x2]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n+m-2][n][n]<<endl;
}