【专题】三分法和牛顿迭代法总结

最新推荐文章于 2024-12-31 18:10:40 发布

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本文总结了两种迭代方法：三分法和牛顿迭代法。三分法适用于凸性函数，是对二分法的一种扩展。牛顿迭代法是一种快速求解非线性方程数值解的方法，具有二阶收敛速度。文中通过具体的例子分析了如何应用这两种方法解决实际问题，如最小面积正方形覆盖、点到线段距离最小、影子最长长度、汽车拐弯问题等。

下面总结两种迭代方法：三分法和牛顿迭代

1.三分法

二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时三分法就可以大显身手。如下凸函数：

类似二分的定义left和right

mid1 = (left + right) / 2
mid2 = (mid2 + right) / 2
如果mid1靠近极值点, left = mid1
如果mid2靠近极值点, right = mid2

三分的原理就是每次搜索去掉2/3

程序模版如下：

double Calc(Type a)
{
    /* 根据题目的意思计算 */
}
void Solve(void)
{
    double Left, Right;
    double mid, midmid;
    double mid_value, midmid_value;
    Left = MIN; Right = MAX;
    while (Left + EPS < Right)
    {
        mid = (Left + Right) / 2;
        midmid = (mid + Right) / 2;
        mid_area = Calc(mid);
        midmid_area = Calc(midmid);
        // 假设求解最大极值.
        if (mid_area >= midmid_area) Right= midmid;
        else Left = mid;
    }
}

2.牛顿迭代