牛顿迭代法

一、牛顿法概念

二、图形示例

牛顿法以点的切线与x轴的交点作为下一次迭代的 ，依次类推，逐渐逼近。

二、牛顿法特点

牛顿法的优点是收敛速度快，特别是当接近根的时候。然而，它也有以下缺点：

• 需要计算函数的导数。
• 收敛速度和初始猜测值的选择有很大关系，如果初始值选择不当，可能会导致不收敛。
• 对于多根的方程，可能会收敛到非期望的根。

三、示例

以方程  为例

迭代公式：

迭代次数0：令

迭代次数1：

依次类推,,,

四、代码

/*********
求解方程：
    f(x) = x^2 - 115
迭代公式：
    x_(k+1) = x_(k) - (x_(k)^2 - 115)/2*x_(k);
*/

#include <cmath>
#include <iostream>

bool NewTon(const float x, float& next_x) {

    const float e = 0.001;
    float fx = x*x - 115;
    if(std::fabs(fx) <= e) { //迭代终止条件
        return false;
    }

    next_x = x - fx/(2 * x);
    return true;
}

int main() {

    float x = 5.0;

    std::cout << "迭代次数:0: x = " << x << std::endl;

    int iteration = 500;
    while (iteration-- > 0) {
        if(!NewTon(x, x)) {
            break;
        }
        std::cout << "迭代次数:" <<  500 - iteration << ", x = " << x << std::endl;
    }

    std::cout << "最终结果: x = " <<  x << std::endl;

    return 0;
}

输出结果：

迭代次数:0: x = 5
迭代次数:1, x = 14
迭代次数:2, x = 11.1071
迭代次数:3, x = 10.7304
迭代次数:4, x = 10.7238
最终结果: x = 10.7238