第六单元 动态规划 6.1 导例：数字三角形

6.1 导例：数字三角形

 【问题简述】有一个层数为 n（n≤1000）的数字三角形（如下图）。现有一只蚂蚁从顶层开始向下走，每走下一级时，可向左下方向或右下方向走。求走到底层后它所经过数字的总和的最大值。

 

 

 (1) 数据存储

 

边界处理：
1. 最外层有一圈0，可以防止在逆推法中出界。
2. 由于右侧是0，所以决策时不会往那里走。
如果允许负数，可以把0换成一个很小的数，也可以想其他方法。

 (2) 递推

1. 划分阶段：按行划分阶段，一行为一个阶段。
2. 状态表示：令 f(i,j)为第 i 行第 j 列上点到起点的最大和。所有下标从 1 开始。
3. 状态转移方程：
 逆推：状态转移方程为

int a[N][N], f[N][N]; // a是变形的数字三角形，f保存计算结果
……
for (int i=n;i>0;i--)
for (int j=1;j<=i;j++)
f[i][j] = max(f[i+1][j]