数据结构实验之图论六：村村通公路

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数据结构实验之图论六：村村通公路

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题目描述

当前农村公路建设正如火如荼的展开，某乡镇政府决定实现村村通公路，工程师现有各个村落之间的原始道路统计数据表，表中列出了各村之间可以建设公路的若干条道路的成本，你的任务是根据给出的数据表，求使得每个村都有公路连通所需要的最低成本。

输入

连续多组数据输入，每组数据包括村落数目N(N <= 1000)和可供选择的道路数目M(M <= 3000)，随后M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个村庄的编号和修建该道路的预算成本，村庄从1～N编号。

输出

输出使每个村庄都有公路连通所需要的最低成本，如果输入数据不能使所有村庄畅通，则输出-1，表示有些村庄之间没有路连通。

示例输入

示例输出

提示

这里要用到最小生成树的知识点 : 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用 kruskal （克鲁斯卡尔）算法或 prim （普里姆）算法求出。

Prim算法：（普里姆算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树。）

图的存贮结构采用邻接矩阵.此方法是按各个顶点连通的步骤进行,需要用一个顶点集合,开始为空集,以后将以连通的顶点陆续加入到集合中,全部顶点加入集合后就得到所需的最小生成树 .

思路：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

#include<iostream>
#include<limits.h>
#define Max INT_MAX

using namespace std;

int gp[1010][1010];

int  Prim(int n)
{
    int lowcost[1010];          //表示终点的边的最小权值
    int adjvex[1010];             //表示对应lowcost[i]的起点
    adjvex[1]=1;
    int sum=0;              //统计总路线
    int i,j,k,min,minid;
    for( i=2; i<=n; i++)        //从节点1开始
    {
        lowcost[i]=gp[1][i];
        adjvex[i]=1;
    }
    for(i=2; i<=n; i++)
    {
        min=Max;
        minid=0;
        for(j=2; j<=n; j++)
        {
            if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min)
            {
                min=lowcost[j];
                minid=j;                //存储当前最小值的下标
            }
        }
        //cout<<adjvex[minid]<<" "<<minid<<" "<<min<<endl;
        sum+=min;
        lowcost[minid]=0;
        for(j=2; j<=n; j++)
        {
            if(gp[minid][j]<lowcost[j])     // if(!lowcost[i]&&gp[minid][j]<lowcost[j])
            {
                lowcost[j]=gp[minid][j];    //更新lowcost数组
                adjvex[j]=minid;            //将下标为minid的顶点存入adjvex
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)       //判断是否连通
    {
        if(!adjvex[i])
            {
                sum=-1;
                break;
            }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)         // 赋初值
            for(int j=1; j<=n; j++)
                gp[i][j]=Max;
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            int a,b,d;
            cin>>a>>b>>d;
            gp[a][b]=d;
            gp[b][a]=d;
        }
        int s=Prim(n);
        cout<<s<<endl;
    }
    return 0;
}

Krusal算法：（克鲁斯卡尔算法是直接以边为目标去构建。）

图的存贮结构采用边集数组,且权值相等的边在数组中排列次序可以是任意的.该方法对于边相对比较多的不是很实用,浪费时间.

思路：设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量（并查集），则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int b,e,w;
};
bool cmp(node x,node y)         //比较函数，按权值升序排列
{
    return x.w<y.w;
}
int Find(int pre[],int k)       //查找函数：查找连通分量顶点
{
    while(k!=pre[k])
        k=pre[k];
    return k;
}
void Kruskal(node g[],int m,int n)
{
    int i,sum=0,cnt=0;
    int pre[1000];
    for( i=1; i<=n; i++)             //真道题的数据有点水，刚开始些的是for(i=0;i<n;i++)提交AC，但是提交其他题WA（注意：局部变量申请内存的数值是随机的）
        pre[i]=i;
    for( i=0; i<m; i++)
    {
        int x=Find(pre,g[i].b);
        int y=Find(pre,g[i].e);
        if(x!=y)            //不相等，说明不在一个连通分量
        {
            pre[x]=y;       //将y加入x的连通分量
            sum+=g[i].w;       //计算路径
            cnt++;
            //cout<<g[i].b<<" "<<g[i].e<<" "<<g[i].w<<endl;
        }
    }
    if(cnt==n-1)            //若相等，是连通图
        cout<<sum<<endl;
    else
        cout<<-1<<endl;
}
int main()
{
    int n,m;
    node g[3000];
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=0; i<m; i++)  //建立边集数组
        {
            int a,b,d;
            cin>>a>>b>>d;
            g[i].b=a;
            g[i].e=b;
            g[i].w=d;
        }
        sort(g,g+m,cmp);
        Kruskal(g,m,n);
    }
    return 0;
}