环形石子合并----区间DP

题目来源

AcWing

题目大意

将 n 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 n 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最小。

输入格式

第一行包含整数 n，表示共有 n 堆石子。

第二行包含 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式

输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，

第二行为合并得分总和最大值。

数据范围

1 ≤ n ≤ 200

输入样例

4
4 5 9 4

输出样例

43
54

主要思路

我们先来回顾区间DP，区间DP步骤先枚举len(区间长度)，再枚举左端点L，算出右端点，R = L + len - 1，f[l][r]表示合并l，r这个区间的得分总和的最大值/最小值，再根据区间l, r是由l，r中的哪两个区间合并而来的，也就是枚举l，r中间的分界点k，算出f[l][r]的最大/最小值。
以上是非环形石子合并的DP过程，那么我们如何计算环形呢，暴力做法是我们把环形拆成链状，根据从哪两个点之间断开分成n个链对每个链进行区间DP，由此的复杂度是O(n^4)，已经超时，那么如何进行优化呢。
我们可以把一条长度为n的链再连一条一样的长度为n的链，比如样例中4 5 9 4我们可以变成4 5 9 4 4 5 9 4，对这条链进行区间DP，然后对这条长度为2 * n的链进行区间DP，然后再在f[l][r]中枚举长度为n的区间，这样的效果与对n条链进行区间DP效果相同相当于对1–n，2–n+1, …进行区间DP效果相同

AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 410;
int n, s[N], w[N];
int f[N][N], g[N][N];

int main(void)
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i], w[i + n] = w[i];
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)//维护前缀和
    {
        s[i] = s[i - 1] + w[i];
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    memset(g, -0x3f, sizeof(g));
    for(int len = 1; len <= n; len++)//对2 * n进行区间DP，len最大为n
    {
        for(int l = 1; l + len - 1 <= 2 * n; l++)
        {
            int r = l + len - 1;
            if(len == 1) f[l][r] = g[l][r] = 0;
            for(int k = l; k < r; k++)
            {
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
                g[l][r] = max(g[l][r], g[l][k] + g[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
            }
        }
    }
    
    int maxv = -0x3f3f3f3f, minv = 0x3f3f3f3f;
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)//枚举长度为n的区间
    {
        maxv = max(maxv, g[i][i + n - 1]);
        minv = min(minv, f[i][i + n - 1]);
    }
    cout << minv << endl << maxv << endl;
    return 0;
}

个人学习使用