大白话讲解LCS(最长公共子序列)

今天看了七月在线算法课。再一次认识了LCS，现在整理记录：

LCS（Longest Common Subsequence）最长公共子序列。

一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T，那么T叫做S的子序列。

两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个叫X和Y的最长公共子序列。

例如：

字符串13455和245576的最长公共子序列为455.

字符串acdfg和adfc的最长公共子序列为adf.

注意：这里要区别最长公共子串LCS（Longest Common Substring）,这个要求的是字符串必须连续。

这里偷懒，直接拿了老师的PPT。记好下面的记号。

下面就进行LCS解法的探索：

当x=y的时候：

然后我们就能得到：

此处的意思就是：当两个子序列中结尾字符是相等的，那么最长的子序列就肯定是这个相等值+前面的的最长长度了，这样他们的长度才能是最长的。

例子：

那么现在我们再考虑X不等于Y的情况：

此处的解释:

当我们认为是我们子序列的子串的最后一个元素不相等，那么他的最长子序列一定来自两个地方，假设去掉X序列的最后一个元素，那么最长子序列一定产生于图中A+B+Yn,同理一样， B+A+Xn.

例子：

总结：

怎么求呢？C[m,n]是一个正整数的值，表示序列m和n之间的最大的长度。

当两个字符串有一个是0 ，那么LCS一定是0；

例子：

右下角的数据怎么计算呢？

经过上面的分析，我们知道两个序列有一个是0 的那么LCS都是0 ；所以第0行第0列都是0.

图中红圈内1怎么得来的呢？

红圈内的x是B，y是D，即x不等于y.那么我们就要看红圈上左边和上边 的数值了，选择一个大的数值写入。

那么以此类推，当x=y 的时候，我们直接选择红圈左上的值+1,写入即可。

两个例子来自点击打开链接

代码一是让你输入两个序列，然后输出最长公共子序列和长度。

#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
#include <stdlib.h>  
int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b)  
{  
    int i,j,length1,length2,len;  
    length1 = strlen(str1);  
    length2 = strlen(str2);  
  
    //双指针的方法申请动态二维数组  
    int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行  
    for(i = 0; i < length1+1; i++)  
        c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列  
  
    for(i = 0; i < length1+1; i++)  
        c[i][0]=0;        //第0列都初始化为0  
    for(j = 0; j < length2+1; j++)  
        c[0][j]=0;        //第0行都初始化为0  
  
    for(i = 1; i < length1+1; i++)  
    {  
        for(j = 1; j < length2+1; j++)  
        {  
            if(str1[i-1]==str2[j-1])//由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素  
            {  
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;  
                b[i][j]=0;          //输出公共子串时的搜索方向  
            }  
            else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])  
            {  
                c[i][j]=c[i-1][j];  
                b[i][j]=1;  
            }  
            else  
            {  
                c[i][j]=c[i][j-1];  
                b[i][j]=-1;  
            }  
        }  
    }  
    /* 
    for(i= 0; i < length1+1; i++) 
    { 
    for(j = 0; j < length2+1; j++) 
    printf("%d ",c[i][j]); 
    printf("\n"); 
    } 
    */  
    len=c[length1][length2];  
    for(i = 0; i < length1+1; i++)    //释放动态申请的二维数组  
        delete[] c[i];  
    delete[] c;  
    return len;  
}  
void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j)  
{  
    if(i==0 || j==0)  
        return ;  
    if(b[i][j]==0)  
    {  
        PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串  
        printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素  
    }  
    else if(b[i][j]==1)  
        PrintLCS(b, str1, i-1, j);  
    else  
        PrintLCS(b, str1, i, j-1);  
}  
  
int main(void)  
{  
    char str1[100],str2[100];  
    int i,length1,length2,len;  
    printf("请输入第一个字符串：");  
    gets(str1);  
    printf("请输入第二个字符串：");  
    gets(str2);  
    length1 = strlen(str1);  
    length2 = strlen(str2);  
    //双指针的方法申请动态二维数组  
    int **b = new int*[length1+1];  
    for(i= 0; i < length1+1; i++)  
        b[i] = new int[length2+1];  
    len=LCSLength(str1,str2,b);  
    printf("最长公共子序列的长度为：%d\n",len);  
    printf("最长公共子序列为：");  
    PrintLCS(b,str1,length1,length2);  
    printf("\n");  
    for(i = 0; i < length1+1; i++)//释放动态申请的二维数组  
        delete[] b[i];  
    delete[] b;  
    system("pause");  
    return 0;  
}