一些NPC问题的证明

1. 8.3 STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables   are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

            证明：

                     设SAT一个有k个变量的实例f，(f,k)为STINGY SAT的一个实例，x为一组赋值

                     由于可以在多项式时间内验证x是否可以使(f,k)为真，所以STINGY SAT是NP问题

                     目标：SAT规约到STINGY SAT，即x是f的解当且仅当x是(f,k)的解

                     充分性：假设x是f的解，则至多有k个变量为真，x赋给(f,k)也为真，所以x是(f,k)的解

                     必要性：假设x是(f,k)的解，显然x也是f的解

                     ∴ STINGY SAT也是一个NPC问题

       2.  8.12  The k-SPANNING TREE problem is the following.

                            Input: An undirected graph G = (V,E)

                           Output: Aspanningtreeof G in which each node has degree≤ k, if such a tree exists.

                        Show that fo rany k ≥2:

                           (a) k-SPANNING TREE is a search problem.

                           (b) k-SPANNING TREE is NP-complete. (Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)

             证明：

                     (a) 验证任意给定解t是否是k生成树的过程，即确定G中的所有顶点是否都能在t中找到，t中是否有环，以及t中每个顶点度数是否小于等于k。这些都可以通过对G或t

                          实施搜索算法（例如DFS）在多项式时间内解决，所以是搜索问题，也是NP问题。

                     (b) 在(a)中已证明k生成树问题是NP问题。

                          目标：Rudrata Path规约到k生成树，即某个k生成树算法可以As解决Rudrata Path问题

                                     令G每条边权为1，k=2，则每个顶点度数小于等于2 的树实际上为一条路径。对G实施As算法，若As表示2生成树存在，则在G中存在一条

                                     包含所有顶点的无环无圈路径，也即G中存在Rudrata Path。若As表示2生成树不存在，也即G中没有Rudrata Path。可以看出，求解是否存在

                                     Rudrata Path的问题实际上可以用k生成树存在算法解决，即前者可以规约到后者。

                          ∴ k生成树问题是一个NPC问题