费马小定理&欧拉定理学习笔记

一、费马小定理及证明

$p$ 为质数，$a$ 为任意自然数，则 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

方法一

证明：对 $a$ 使用数学归纳法。
① 当 $a=0$ 时，$a^p=0,a=0$ 显然成立。
② 假设 $a=n$ 时，结论成立，即 $n^p\equiv n(\mathrm{mod}p)$。$a=n+1$ 时：
$$(n+1{)}^p-(n+1)={\Sigma }_{i=0}^p{C}_p^i{n}^i-(n+1)=C_p^0{n}^0+{\Sigma }_{i=1}^{p-1}{C}_p^i{n}^i+C_p^p{n}^p-n-1={\Sigma }_{i=1}^{p-1}{C}_p^i{n}^i+(n^p-n)$$
由组合数公式 $C_p^i=\frac{p!}{i!(p-i)!}(1⩽i⩽p-1)$ ,$p$ 为质数得 $p\mid C_p^i$。（因为 $p!$ 中有 $p$ 这个因子，下面没有数能把 $p$ 约掉）因此 ${\Sigma }_{i=1}^{p-1}{C}_p^i{n}^i\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，再由假设结论得 $n^p-n\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，两式做和得 $(n+1{)}^p-(n+1)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，因此 $a=n+1$ 时结论仍成立。
综上，$p$ 为质数，$a$ 为任意自然数，则 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

方法二

$Lemma.1$ 若 $p,c$ 互质，$ac\equiv bc(\mathrm{mod}p)$ 则 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$
证明：由 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}p)$ 得：
$$ac-bc\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

故：
$$(a-b)c\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

由于 $p,c$ 互质，有：
$$a-b\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

即：
$$a\equiv b(\mathrm{mod}p)$$
$Lemma.2$ 若序列 $a_1,a_2,a_3,...,a_p$ 为 $p$ 的完全剩余系，且 $b,p$ 互质，则 $a_{1}b,a_{2}b,a_{3}b,...,a_{p}b$ 也是 $p$ 的完全剩余系。
证明：采用反证法，即 $a_{1}b,a_{2}b,a_{3}b,...,a_{p}b$ 不是 $p$ 的完全剩余系，则必存在 $1⩽i,j⩽p$ ，使得 $a_{i}b\equiv a_{j}b(\mathrm{mod}p)$。
根据引理 $1$ ，由于 $b,p$ 互质，得 $a_i\equiv a_j(\mathrm{mod}p)$，与条件矛盾，故假设不成立，即$a_{1}b,a_{2}b,a_{3}b,...,a_{p}b$ 也是 $p$ 的完全剩余系。

接下来给出费马小定理的证明。
证明：
由于 $0,1,2,...,(p-1)$ 是 $p$ 的完全剩余系，$a,p$ 互质，由引理 $2$ 得，$0,a,2a,...,(p-1)a$ 也是 $p$ 的完全剩余系。
因此，
$$1\times 2\times 3\times ...\times (p-1)\equiv a\times 2a\times 3a\times ...\times (p-1)a(\mathrm{mod}p)$$

$$(p-1)!\equiv (p-1)!a^p(\mathrm{mod}p)$$

又，因为 $p$ 是质数，所以$(p-1)!$ 与 $p$ 互质。由引理 $1$ 得，$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，即 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

二、欧拉定理及证明

$a,n$ 为自然数，且 $a,n$ 互质，则 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。
证明：采用与费马小定理证明中的方法二，构造序列如下。
设 $b_1,b_2,b_3,...,b_{\phi (n)}$ 是 $1$ ~ $n$ 中与 $n$ 互质的 n$\phi (n)$ 个数。那么在模 $n$ 乘法的意义下， $a{b}_1,a{b}_2,a{b}_3,...,a{b}_{\phi (n)}$ 也是 $1$ ~ $n$ 中与 $n$ 互质的 $\phi (n)$ 个数，即：
{b1,b2,b3,...,bφ(n)}={ab1,ab2,ab3,..,abφ(n)}\{b_1, b_2, b_3, ... , b_{\varphi(n)}\}=\{ab_1,ab_2,ab_3,..,ab_{\varphi(n)}\}{b1​,b2​,b3​,...,bφ(n)​}={ab1​,ab2​,ab3​,..,abφ(n)​}

将这两个集合中的数分别累乘得：
$${\Pi }_{i=1}^{\phi (n)}{b}_i={\Pi }_{i=1}^{\phi (n)}(a{b}_i)(\mathrm{mod}n)$$

$${\Pi }_{i=1}^{\phi (n)}{b}_i=a^{\phi (n)}\times {\Pi }_{i=1}^{\phi (n)}(b_i)(\mathrm{mod}n)$$

故 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 。

三、欧拉定理与费马小定理的关系

费马小定理是欧拉定理中 $n$ 为质数的特殊情况。
考虑欧拉定理中 $n$ 为质数时，$\phi (n)=n-1$ ，故：
$$a^{\phi (n)}=a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

$$a^n=a(\mathrm{mod}n)$$