2019阿里校招测评题 光明小学完全图最短路径问题

题目:

光明小学的小朋友们要举行一年一度的接力跑大赛了,但是小朋友们却遇到了一个难题:设计接力跑大赛的线路,你能帮助他们完成这项工作么?
光明小学可以抽象成一张有N个节点的图,每两点间都有一条道路相连。光明小学的每个班都有M个学生,所以你要为他们设计出一条恰好经过M条边的路径。
光明小学的小朋友们希望全盘考虑所有的因素,所以你需要把任意两点间经过M条边的最短路径的距离输出出来以供参考。

你需要设计这样一个函数:
res[][] Solve( N, M, map[][]);
注意:map必然是N * N的二维数组,且map[i][j] == map[j][i],map[i][i] == 0,-1e8 <= map[i][j] <= 1e8。(道路全部是无向边,无自环)2 <= N <= 100, 2 <= M <= 1e6。

map数组表示了一张稠密图,其中任意两个不同节点i,j间都有一条边,边的长度为map[i][j]。N表示其中的节点数。
你要返回的数组也必然是一个N * N的二维数组,表示从i出发走到j,经过M条边的最短路径
你的路径中应考虑包含重复边的情况。

样例:

N = 3
M = 2
map = {
 {0, 2, 3},
 {2, 0, 1},
 {3, 1, 0}
}

输出结果result为:
result = {
 {4, 4, 3},
 {4, 2, 5},
 {3, 5, 2}
}

输入样例:

3
2
3 3 
0 2 3
2 0 1
3 1 0

输出样例:

[[4, 4, 3],

[4, 2, 5],

[3, 5, 2]]

解题思路:

首先第一点是肯定的,全排列肯定是可以求出解的,但是时间复杂度那肯定是爆炸的,当然,30分钟的时间里面能把全排列写出来也是可以的了我感觉。

但是还是想试试动态规划能不能求解,我们把每一步的中间结果都存下来,相当于对搜索进行了剪枝操作。当然,动态规划是基于以下的假设:

如果从点s到点t存在最小路径而且正好经过点c,那从s到c的所有路径当中,这条s->c一定是最短路径。

很好理解,如果当前这条s->c(我们称之为l1)不是最短的话,那肯定存在一条s->c路径(l2)最短,那走2到t肯定比走l1到t短,所以l1肯定就被替换掉了。

代码实现:

全排列版:

public class Test {
    private static int[][] resultMap;
    private static int times = 0;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 初始化
        int N = scanner.nextInt();
        int M = scanner.nextInt();
        int[][] map = new int[N][N];
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                map[i][j] = scanner.nextInt();
            }
        }
        resultMap = new int[N][N];

        // 执行
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            route(map, N, M, 1, i, i, 0);
        }

        // 打印
        System.out.println("total recursion: " + times);
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                System.out.print(resultMap[i][j] + " ");
            }
            System.out.println("");
        }
    }

    private static void route(int[][] map, int N, int M, int step, int head, int now, int cost) {
        times ++;
        if (step > M) {
            resultMap[head][now] = resultMap[head][now] == 0 ? cost : (Math.min(resultMap[head][now], cost));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            if (i == now) continue;
            route(map, N, M, step + 1, head, i, cost + map[now][i]);
        }
    }
}

动态规划版:

public class Test {
    private static int[][][] resultMap;
    private static int times = 0;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 初始化
        int N = scanner.nextInt();
        int M = scanner.nextInt();
        int[][] map = new int[N][N];
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                map[i][j] = scanner.nextInt();
            }
        }
        resultMap = new int[M][N][N];

        // 执行,动态规划
        // 初始化步数为1的情况
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                resultMap[0][i][j] = map[i][j];
            }
        }
        // 更新步数2-M的情况
        for (int k = 1; k < M; k ++) {
            for (int i = 0; i < N; i ++) {
                for (int j = 0; j < N; j ++) {
                    for (int p = 0; p < N; p ++) {
                        times ++;
                        if (p == j || resultMap[k - 1][i][p] == 0) continue;
                        resultMap[k][i][j] = Math.min(resultMap[k][i][j] == 0 ? Integer.MAX_VALUE : resultMap[k][i][j], resultMap[k - 1][i][p] + map[p][j]);
                    }
                }
            }
        }

        // 打印
        System.out.println("total recursion: " + times);
        for (int i = 0; i < N; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                System.out.print(resultMap[resultMap.length - 1][i][j] + " ");
            }
            System.out.println("");
        }
    }
}

测试结果

3
2
0 2 3
2 0 1
3 1 0
total recursion: 21
4 4 3 
4 2 5 
3 5 2 

 

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