洛谷 P1115 最大子段和

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题目大意

给出一个长度为 n 的序列 a,选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入与输出样例

输入

第一行是一个整数,表示序列的长度 n。

第二行有 n 个整数,第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 a i a_i ai

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

输出

输出一行一个整数表示答案。

4

思路

首先给出转移方程:dp[i] = max(f[i], dp[i - 1] + f[i]);
推导:对于每个数,要么选择,要么不选择,且保持连续非空。对于 f [ i ] f[i] f[i] 的选取,如果选择该数能改使得此连续一段和最大,那么有 d p [ i − 1 ] + f [ i ] dp[i-1]+f[i] dp[i1]+f[i] ,把第 i − 1 i-1 i1之前的最大连续子段和与当前的 f [ i ] f[i] f[i] 加起来;如果不选择,不满足非连续,以当前的数 f [ i ] f[i] f[i] 作为连续子段的开始数,dp[i]=f[i]。综上,推导出dp[i] = max(f[i], dp[i - 1] + f[i])

AC代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>	
using namespace std;

long long f[200020],dp[200020];
const int inf = 0xefffffff;

int main(int argc, char* argv[])
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%lld", &f[i]);
		dp[i] = 0;
	}
	//定义最小值,不能用0,否则WA
	long long ret = inf;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		dp[i] = max(f[i], dp[i - 1] + f[i]);
		ret = max(ret, dp[i]);
	}
	printf("%lld\n", ret);
	return 0;
}
<think>嗯,用户想了解如何用分块方法解决P2042这个维护数列的问题。首先,我需要回忆一下分块算法的基本概念。分块通常是将数据分成多个块,每个块单独处理,平衡查询修改的时间复杂度。不过,题目是NOI2005的,可能比较复杂,因为维护数列通常涉及插入、删除、区间修改、翻转、求最大等操作。分块处理这些操作可能比较麻烦,尤其是动态的插入删除,会导致块的大小变化,影响效率。 首先,我得确认分块是否适合这个问题。一般来说,分块的时间复杂度是O(n√n),对于大数可能还行,但像这种NOI题目可能数据量较大,分块可能不够高效,不过用户明确问分块方法,所以需要找到如何结构设计。 维护数列的典型操作包括:在某个位置插入一数列,删除某个区间区间覆盖,区间翻转,区间,求最大。分块的话,每个块需要维护这些操作的信息。比如每个块需要记录翻转标记、覆盖标记,以及各种区间最大等。 接下来,分块的结构设计。每个块可以存储一个数组,同时维护块内的总最大前缀最大后缀最大,以及翻转覆盖的懒标记。插入删除操作需要考虑块的分裂合并,这可能比较复杂,因为频繁的插入删除会导致块的大小不均,影响效率。所以可能需要设置块的大小阈值,比如当块的大小超过2√n时分裂,小于√n/2时合并相邻块。 处理翻转操作时,每个块维护一个翻转标记,当需要翻转区间时,对覆盖的完整块标记翻转,并处理部分块。同样,覆盖操作需要懒标记,当块被完全覆盖时,直接更新块内的值,并记录覆盖值。 最大的计算需要每个块维护内部的最大最大前缀最大后缀,这样在查询时,可以将多个块的信息合并起来得到整体的最大。这可能比较复杂,需要考虑块之间的前后缀如何组合。 插入删除操作需要找到对应的位置所在的块,如果插入导致块过大,就分裂成两个块。删除时如果块变得过小,可能需要合并相邻块。这些操作需要维护块之间的链表结构,方便快速插入删除块。 举个例,当要在位置pos插入一数列,首先找到pos所在的块,如果块的大小加上插入元素后超过阈值,就分裂该块为两个,然后将插入的元素作为新块插入到链表中。这样插入的时间复杂度是O(√n),因为分裂插入块的时间与块的大小有关。 对于翻转覆盖操作,应用懒标记是关键,这样可以延迟实际的操作,直到需要访问块的具体内容时才进行实际的处理。例如,当需要访问一个带有翻转标记的块时,先执行翻转操作,并清除标记。 不过分块在处理这些动态操作时,尤其是频繁的插入删除,可能效率不如平衡树结构(如Splay或Treap),但分块实现起来可能相对简单一些。需要权衡实现复杂度效率。 总结一下,分块实现的关键点包括: 1. 分块的结构设计,每个块维护必要的信息懒标记。 2. 插入删除时的块分裂与合并策略。 3. 懒标记的处理,如翻转覆盖,何时下传。 4. 查询操作时如何合并各个块的信息,如最大。 可能遇到的问题包括块的大小管理不当导致性能下降,懒标记处理错误导致数据不一致,以及在合并块信息时逻辑错误。需要详细设计每个操作的步骤,并处理各种边界情况,比如操作区间跨多个块,或者在块的开头或结尾的部分操作。 最后,参考用户提供的引用,尤其是引用[1]提到递归图的理解,可能分块的递归处理不太相关,但引用[2]提到题目,可能需要参考类似题解中的分块实现方法。不过用户提供的引用可能没有直接相关的内容,所以需要依靠已有的分块知识来构建解决方案。</think>### 分块方法实现 P2042 维护数列问题 #### 分块结构设计 1. **块内信息**: - 数据存储:每个块存储$size \leq 2\sqrt{n}$个元素 - 维护以下字: ```text sum: 区间 lmax: 最大前缀 rmax: 最大后缀 tmax: 最大 rev: 翻转标记(0/1) cov: 覆盖标记(特殊值表示未覆盖) ``` 2. **分块逻辑**: - 块间通过链表或数组连接 - 插入/删除时动态调整块大小,触发分裂或合并(例如块大小超过$2\sqrt{n}$时分裂,相邻块总大小低于$\sqrt{n}$时合并) #### 核心操作实现 **1. 区间翻转(REVERSE)**: - 对完整覆盖的块:翻转标记`rev ^= 1`,交换`lmax`与`rmax` - 对部分覆盖的块:下传标记后暴力翻转元素 时间复杂度:$O(\sqrt{n})$ **2. 区间覆盖(MAKE-SAME)**: - 对完整覆盖的块:更新`cov`标记,直接计算`sum`,`lmax`,`rmax`,`tmax` - 对部分覆盖的块:下传标记后暴力修改 时间复杂度:$O(\sqrt{n})$ **3. 最大(MAX-SUM)**: - 合并相邻块的`rmax``lmax`,遍历所有块维护全局最大值 时间复杂度:$O(\sqrt{n})$ **4. 插入(INSERT)**: - 定位插入位置所在块,若插入后块大小超过阈值则分裂 时间复杂度:$O(\sqrt{n} + k/\sqrt{n})$ **5. 删除(DELETE)**: - 移除目标区间涉及的所有块,合并相邻小块 时间复杂度:$O(\sqrt{n} + k/\sqrt{n})$ #### 代码框架示例(关键部分) ```python class Block: def __init__(self): self.data = [] self.sum = 0 self.lmax = self.rmax = self.tmax = -inf self.rev = 0 self.cov = None def push_down(self): # 下传覆盖/翻转标记到数据层 if self.cov is not None: self.data = [self.cov] * len(self.data) if self.rev: self.data.reverse() self.rev = 0 self.cov = None def update_info(self): # 重新计算sum/lmax/rmax/tmax pass class BlockList: def __init__(self): self.blocks = [] def split(self, idx): # 分裂过大的块 pass def merge(self): # 合并过小的相邻块 pass ``` #### 复杂度分析 | 操作类型 | 时间复杂度 | |----------------|---------------------| | 插入/删除 | $O(\sqrt{n} + k)$ | | 翻转/覆盖/求 | $O(\sqrt{n})$ | | 最大 | $O(\sqrt{n})$ | #### 注意事项 1. **标记下传策略**:在访问块内数据前必须下传所有标记 2. **块大小平衡**:通过动态分裂/合并保证$size \in [\sqrt{n}/2, 2\sqrt{n}]$ 3. **边界处理**:特别注意区间跨多个块时的部分覆盖情况
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