图论算法

最新推荐文章于 2024-10-12 17:05:32 发布

zhangxin2208

最新推荐文章于 2024-10-12 17:05:32 发布

阅读量657

点赞数

文章标签：算法 integer 数据结构编程 algorithm tree

1 、Relaxation(松弛操作)：

procedure relax(u,v,w:integer);//多数情况下不需要单独写成 procedure。

begin

if dis[u]+w<dis[v] then

begin

dis[v]:=dis[u]+w;

pre[v]:=u;

end

end;

2 、Dijkstra

适用条件 &范围：

a) 单源最短路径 (从源点s到其它所有顶点v);

b) 有向图 &无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)

c) 所有边权非负 (任取(i,j)∈E都有W_ij≥0);

1) 算法描述：

a) 初始化： dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};

b) For i:=1 to n

1.取 V-S中的一顶点u使得dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S}

2.S=S+{u}

3.For V-S中每个顶点 v do Relax(u,v,W _u,v)

c) 算法结束： dis[i]为s到i的最短距离；pre[i]为i的前驱节点

2) 算法优化：

使用二叉堆 (Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin，即算法步骤b中第1步)操作，算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。推荐对稀疏图使用。

使用 Fibonacci Heap(或其他Decrease操作O(1),DeleteMin操作O(logn)的数据结构)可以将复杂度降到O(E+V㏒V)；如果边权值均为不大于C的正整数，则使用Radix Heap可以达到O(E+V㏒C)。但因为它们编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。

3 、Bellman-Ford

1) 适用条件 &范围：

a) 单源最短路径 (从源点s到其它所有顶点v);

b) 有向图 &无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

c) 边权可正可负 (如有负权回路输出错误提示);

d) 差分约束系统 ;

2) 算法描述：

对每条边进行 |V|次Relax操作;

完成后，如果存在 (u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。

3) 算法实现：

For i:=1 to |V| do

For 每条边 (u,v)∈E do

Relax(u,v,w);

For每条边 (u,v)∈E do

If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

算法时间复杂度 O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，但因为它实践中的效果不错，仍不失为一个很实用的算法。

4) 菜鱼有话说：

这个…… N久前有人提出个叫“SPFA”的东西，主要思想是：维护一队列，对队头的顶点u，枚举它的邻接边，如果它可以用来更新顶点v，则更新v的dis。更新后，如果顶点不在队中，则加入队。重复，直至队列空。有人说这个算法是O(kE)，k平均为2。看完算法的描述，我直观上就感觉这是bellman-ford的一种实现方式，但无奈没有证据，在与Zroge和Amber的讨论中没有能说明。但是，偶尔翻起一本书《Data structures and Algorithm analysis》，终于确定所谓SPFA就是Bellman-Ford（如果以上算法描述的确是SPFA的描述的话）。如有怀疑可以参考此书，网上有CHM电子书。既然是Bellman-Ford，它的算法复杂度就是O(VE)。而实际上，对于这个所谓“SPFA”是可以很轻易构造出使它复杂度为VE的例子的（有负权回路即可）。

以上为我个人说法，有不同观点可以讨论。

4 、Topological Sort(拓扑排序)

1) 适用条件 &范围：

a) AOV网 (Activity On Vertex Network);

b) 有向图 ;

c) 作为某些算法的预处理过程 (如DP)

2) 算法描述：

很简单的算法：每次挑选入度为 0的顶点输出(不计次序)。

如果最后发现输出的顶点数小于 |V|，则表明有回路存在

3) 算法实现：

a) 数据结构： adj:邻接表;有4个域{u,v,w,next}

indgr[i]:顶点 i的入度;

stack[]:栈

b) 初始化 :top=0 (栈顶指针)

c) 将初始状态所有入度为 0的顶点压栈

d) I=0 (计数器 )

e) While 栈非空 (top>0) do

i. 顶点 v出栈；输出v；计数器增1；

ii. For 与 v邻接的顶点u do

1. dec(indgr[u]);

2. If indgr[u]=0 then 顶点 u入栈

f) EXIT(I=|V|)

简单 &高效&实用的算法。上述实现方法复杂度O(V+E)

5 、SSSP On DAG

1) 适用条件 &范围：

a) DAG(Directed Acyclic Graph,有向无环图 );

边权可正可负

2) 算法描述：

a) Toposort;

b) If Toposort=False Then HALT(Not a DAG)

c) For 拓扑序的每个顶点 u do

For u的每个邻接点 v do

Relax(u,v,w);

算法结束后：如有环则输出错误信息；否则 dis[i]为s到i的最短距离，pre[i]为前驱顶点。

3) 算法实现：

基本从略。此算法时间复杂度 O(V+E)，时间&编程复杂度低，如遇到符合条件的题目(DAG)，推荐使用。

还有，此算法的步骤 c可以在toposort中实现，这样即减小了此算法复杂度的一个系数。

6 、Floyd-Warshall

1) 适用范围：

a) APSP(All Pairs Shortest Paths)

b) 稠密图效果最佳

c) 边权可正可负

2) 算法描述：

a) 初始化： dis[u,v]=w[u,v]

b) For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If dis[i,j]>dis[i,k]+dis[k,j] Then

Dis[I,j]:=dis[I,k]+dis[k,j];

c) 算法结束： dis即为所有点对的最短路径矩阵

3) 算法小结：

此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行 |V|次Dijkstra算法。时间复杂度O(n^3)。

考虑下列变形：如 (I,j)∈E则dis[I,j]初始为1,else初始为0，这样的Floyd算法最后的最短路径矩阵即成为一个判断I,j是否有通路的矩阵。更简单的，我们可以把dis设成boolean类型，则每次可以用“dis[I,j]:=dis[I,j]or(dis[I,k]and dis[k,j])”来代替算法描述中的蓝色部分，可以更直观地得到I,j的连通情况。

与 Dijkstra算法类似地，算法中蓝色的部分可以加上对Pre数组的更新，不再赘述。

7 、Prim

1) 适用范围：

a) MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树 )

b) 无向图 (有向图的是最小树形图)

c) 多用于稠密图

2) 算法描述：

a) 初始化： dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};tot=0

For i:=1 to n

1.取顶点 v∈V-S使得W(u,v)=min{W(u,v)|u∈S,v∈V-S,(u,v)∈E}

2.S=S+{v};tot=tot+W(u,v);输出边 (u,v)

3.For V-S中每个顶点 v do Relax(u,v,W _u,v)