JZ9-变态跳台阶

【题目描述】
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

【官方解法】
1.暴力解法
设f[i] 表示：当前跳道第 i 个台阶的方法数，那么f[n]就是所求答案。

假设现在已经跳到了第 n 个台阶，那么前一步可以从哪些台阶到达呢？

如果上一步跳 1 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-1 个台阶。已知跳到第n-1个台阶的方法数为f[n-1]

如果上一步跳 2 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-2 个台阶。已知跳到第n-2个台阶的方法数为f[n-2]

。。。

如果上一步跳 n 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 0 个台阶。已知跳到 第0个台阶的方法数为f[0]

那么总的方法数就是所有可能的和。也就是f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[0]

显然初始条件f[0] = f[1] = 1

所以我们就可以先求f[2]，然后f[3]…f[n-1]， 最后f[n]

int jumpFloorII(int n) {
    if (n==0 || n==1) return 1;
    vector f(n+1, 0);
    f[0] = f[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {   //第i层台阶
        for (int j=0; j<i; ++j) {
            f[i] += f[j];//第i层有好多方法   
        }
    }
    return f[n];
}

2.优化
对于方法一中的：f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[0]

那么f[n-1] 为多少呢？

f[n-1] = f[n-2] + f[n-3] + … + f[0]

所以一合并，f[n] = 2*f[n-1]，初始条件f[0] = f[1] = 1

所以可以采用递归，记忆化递归，动态规划，递推。具体详细过程，可查看青蛙跳台阶。

这里直接贴出递推的代码。

int jumpFloorII(int n) {
    if (n==0 || n==1) return 1;
    int a = 1, b;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {
        b = a << 1; //  口诀：左移乘2，右移除2
        a = b;
    }
    return b;
}

当然，你会发现一个规律：

f[0] = f[1] = 1

f[2] = 2 = 21

f[3] = 4 = 22

f[4] = 8 = 23

…

f[n] = 2n-1

所以，针对本题还可以写出更加简单的代码。

int jumpFloorII(int n) {
     if (n == 0 || n == 1) return 1;
     return static_cast(pow(2, n-1));
}

但是此办法投巧，扩展性不强。