zhangmohan123321的博客

李超线段树通过在每个区间维护中点最优线段，支持高效动态插入线段与单点最值查询，结合离散化可处理大坐标范围，常用于斜率优化等场景。

快速沃尔什变换（FWT）是一种高效计算按位运算卷积的算法，适用于异或、与、或三种运算。其核心思想是通过线性变换将卷积转化为逐点乘积，类似FFT处理加法卷积的方式。FWT采用分治策略，对序列进行变换和逆变换，其中异或卷积最复杂，需使用Walsh-Hadamard变换。三种运算分别对应不同的变换矩阵和分治方法，并可通过C++实现高效计算。FWT在组合数学、算法竞赛等领域有重要应用。

FMT通过按集合大小分层并进行子集和变换，将子集卷积从O(3^n)优化至O(n²2^n)，高效处理集合不相交合并问题。

分层图通过将状态拆解为多层结构，利用层内/层间边建模状态转移，结合最短路径算法（如Dijkstra）解决复杂问题，适用于有限次决策或状态依赖场景，如飞行路线优化与时间余数分层问题。

树上启发式合并（DSU on Tree）通过保留重儿子信息、合并轻儿子，高效处理子树查询，时间复杂度 $O(n \log n)$，适用于离线统计问题。

扩展欧几里德算法在求最大公约数的同时，求解ax+by=gcd(a,b)的整数解，是求模逆元、解线性同余方程的基础，时间复杂度O(log n)。

FFT通过分治法将DFT的O(N²)复杂度降至O(N log N)，核心是蝶形运算与位逆序重排，广泛应用于信号处理、多项式乘法等领域。

珂朵莉树利用区间赋值次数少的特性，将序列划分为连续同值段，通过分裂与合并操作，均摊处理复杂区间查询，适用于非线性操作。

差分通过构建差值数组，将区间修改转化为单点操作，实现O(1)更新与O(n)还原，常用于高效处理批量区间增减问题。

树的重心是使最大子树最小的节点，最多两个且相邻。通过DFS计算子树大小，考虑父方向分量，O(n)求解，用于树分治等。

群论研究满足封闭、结合、单位元、逆元的代数结构。C++可实现群的公理验证、阶计算与乘法表，应用于密码学、组合计数等领域。

树链剖分通过重轻链划分，将树路径拆为O(log n)段重链，结合线段树实现路径/子树的高效修改与查询，核心为两次DFS与跳链技术。

LCA（最近公共祖先）用于求树中两节点的 deepest 共同祖先。常用倍增法，预处理 O(n log n)，查询 O(log n)，核心是二进制跳跃与深度调整。

SPFA是Bellman-Ford的队列优化版，可处理负权边并检测负权环，平均性能好，但最坏复杂度O(VE)且易被卡，适用于无负权环的单源最短路径问题。

Dijkstra算法求单源最短路径，基于贪心策略，使用优先队列优化，时间复杂度O((V+E)logV)，要求边权非负，是图论中最基础高效的最短路径算法之一。

Floyd算法是求解所有顶点对最短路径的动态规划算法，可处理负权边，复杂度O(V³)，适用于顶点较少的图。

博弈论研究策略互动，核心有纳什均衡。C++可实现囚徒困境、Nim游戏（用异或）和极小化极大算法，用于分析决策与求解对抗性博弈。

差分约束将不等式组转化为图论最短路径问题，通过SPFA等算法求解，可判断解的存在性并求最值，广泛应用于调度、优化等领域。

莫比乌斯反演是数论重要工具，通过莫比乌斯函数实现求和变换，常用于GCD计数等问题，结合线性筛与数论分块可高效求解。

莫队算法通过分块排序查询，离线处理区间统计问题。利用指针移动增量更新答案，适用于可加减的查询，如区间不同数个数，时间复杂度O((n+q)√n)。

状压DP用二进制压缩状态，结合位运算高效处理组合问题，适用于n较小的集合选择类动态规划，如TSP、棋盘覆盖等。

树形DP是在树上进行的动态规划，通过DFS后序遍历，定义节点状态并由子节点转移而来，常用于求解树的最大独立集、重心、直径等问题。

区间DP按区间长度递推，枚举分割点合并子问题，常用于石子合并、回文分割等最优化问题，核心是状态定义与转移方程。

背包DP核心：在容量限制下选物以最大化价值。含01、完全、多重、分组四类，关键在状态定义与循环方向，常考空间优化。

后缀树是压缩字典树，含字符串所有后缀。Ukkonen算法以O(n)时间构建，利用后缀链接与三规则高效扩展，是处理子串搜索、重复子串等难题的利器。

Manacher算法通过预处理统一回文奇偶性，并利用对称性在线性时间内高效求解最长回文子串。

AC自动机结合Trie树与KMP思想，通过失败指针实现多模式串高效匹配，时间复杂度O(n+m+z)，广泛应用于敏感词过滤、生物信息学等领域。

字典树（Trie）是一种高效处理字符串的树形数据结构，利用前缀共享实现快速插入、搜索和自动补全，广泛应用于词典、搜索提示和拼写检查等场景。

KMP算法通过预处理模式串构建LPS数组，利用最长相等前后缀信息避免主串回溯，实现O(n+m)高效字符串匹配。

上下界网络流详解：涵盖无源汇/有源汇可行流、最大/最小流算法原理，提供完整C++实现，深入解析转化思想与应用。

Dancing Links是求解精确覆盖问题的高效算法，利用双向链表实现快速回溯，通过覆盖/取消覆盖操作优雅地搜索解空间。

IDA*结合A*启发式与迭代加深，用f值限制深度优先搜索，逐步增加阈值，兼具最优性与低内存消耗，适合大状态空间的最优路径搜索。

遗传算法模拟生物进化，通过选择、交叉、变异操作迭代优化，适用于复杂问题求解，具有全局搜索能力强、鲁棒性高等优点。

模拟退火模拟物理退火过程，用Metropolis准则接受劣解以跳出局部最优，通过降温迭代搜索全局最优，适用于复杂优化问题。

爬山算法是局部搜索，通过迭代选择更优邻域解寻找局部最优，易实现但易陷局部最优，常用于优化问题。

Tarjan算法基于DFS，通过维护dfn和low值，高效求解有向图的强连通分量，时间复杂度O(V+E)，是图论中的经典算法。

Kruskal重构树通过将边权转为点权构建，解决路径边权最值问题。C++实现包括构建树、LCA预处理及查询，适用于瓶颈路径问题，时间复杂度低。

拓扑排序用于有向无环图，确保每个节点在依赖它的节点之前被访问。通过 Kahn 算法或 DFS 实现，适用于任务调度等场景，时间复杂度为 O(V+E)。

LCT是维护动态树的数据结构，通过偏好路径和Splay树实现，支持均摊O(log n)的连接、切断和路径查询操作。

并查集是管理集合合并与查询的高效数据结构，通过路径压缩和按秩合并优化，实现接近常数时间的合并与查询操作，广泛用于连通性问题。