二维前缀和是一种常用的算法技巧,用于在二维数组中快速计算出子矩阵的和。
二维前缀和的计算可以通过以下步骤完成:
1. 创建一个与原始二维数组相同大小的辅助数组prefixSum[][],用于存储前缀和。
2. 初始化prefixSum[i][j],其中i和j分别表示行和列的索引。
- 当i=0且j=0时,prefixSum[0][0] = arr[0][0]。
- 当i=0且j>0时,prefixSum[0][j] = arr[0][j] + prefixSum[0][j-1]。
- 当i>0且j=0时,prefixSum[i][0] = arr[i][0] + prefixSum[i-1][0]。
- 当i>0且j>0时,prefixSum[i][j] = arr[i][j] + prefixSum[i-1][j] + prefixSum[i][j-1] - prefixSum[i-1][j-1]。
3. 根据前缀和计算出任意子矩阵的和。
假设要计算子矩阵的左上角为(x1, y1),右下角为(x2, y2),则子矩阵的和为:
sum = prefixSum[x2][y2] - prefixSum[x1-1][y2] - prefixSum[x2][y1-1] + prefixSum[x1-1][y1-1]。
通过预先计算并存储前缀和,可以在O(1)的时间复杂度内计算任意子矩阵的和,这在处理大规模矩阵时非常高效。