高精度高性能PI值计算程序设计和验证

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分类专栏： 高精度高性能PI值计算程序设计和验证 文章标签： 算法 c++
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目录

一、PI的计算方法

二、代码说明

   1、类定义

   1）class fftpack：

  2）class longfloat：

 3) class fft：

  4）class refiner：

  5）class pulser：

6）Class P2B3：

7）Class xthread：

8）Class xtask、Class xqueue：

9）Class mulwise

三、优化设计及版本历史

初始版本

2021年4月7日：

1、longfloat内部序列使用二进制代替10进制

2、   优化绝对值小于1的longfloat的有效长度      

3、   使用P2B3模型，优化非迭代公式（适用于method < 30的所有PI计算公式）的计算方式

4、使用Karatsuba机制，提升长乘法的效率和精度

5、使用gcc/g++嵌入式汇编指令优化除法

6、其他

未来优化方向

1、使用SSE/SSE2、AVX指令集优化

2、使用并行计算优化

3、进制转换优化

4、增加乘数FFT缓存

2021年4月14日：

1、在调试新功能中发现数据或者内存异常，从而发现了之前版本隐藏较深的BUG，这些BUG在之前的版本运行中未暴露出来，实属意外，目前已经修正：

2、进制转换算法的实现和优

3、修改了pulser的实现机制

2021年4月16日：

2021年4月18日

1、发现并修正了程序中存在的个别缺陷和隐患

2、发现Borwein的9次方迭代求PI公式（Method=30）可以通过公式变换，减少1次大数乘法运算：

3、对所有使用refiner进行迭代精度控制的函数进行微调，从之前在每轮迭代结束时检查精度是否达标，前置到迭代过程中的某一步，发现精度达标即退出循环，这样可跳过后面无需执行的步骤。

2021年4月22日

一、PI的计算方法

     程序中实现了4类14种PI的计算方法，每种方法都实测过，确保计算结果的准确性，所有方法至少试验过1~10万位的求解，输出有效数字完全相同，并与y-cruncher等标准程序输出结果进行了对照。

  1. Method 1-7为类Machin公式，也就是反正切函数的Taylor级数；程序中实现了传统累加法和P2B3模型法（P2B3模型的含义在后面章节有专门介绍）。
  2. Method 10-16为类BBP级数，包括标准BBP级数、Fabrice Bellard级数，程序实现了传统累加法和P2B3/BBP模型法。
  3. Method 20-21为类阶乘级数，业界求PI最常使用的Ramanujan公式和Chudnovsky公式，程序实现了传统递进累加法和P2B3模型法。使用了P2B3模型的这两个公式在所有方法中表现出最快的计算性能。
  4. Method 30-36为理论收敛速度最快的Borwein迭代法，包括9次收敛迭代、2次收敛迭代、4次收敛迭代、3次迭代、5次迭代、16次迭代。尽管理论收敛速度差异很大，但由于迭代步骤的复杂程度，实测中运行最快的是2次迭代法（Method=31），4次迭代性能相似（Method=32）、9次迭代和16次迭代实际运行速度不佳（Method=30、36）。

以下为各种求PI方法的实测性能，注意观察在相同位数情况下各方法的耗时对比，以及不同算法在位数增大10倍时的耗时变化情况，以对各种算法的复杂度有清晰的认识。部分算法因其性能不足以应对太高位数的计算，因此未进行实测。例如对于采用累加求和方式计算的级数，因其算法复杂度为O(n2)，也就是说N=100万所消耗的时间为N=10万时的100倍，因此当N为100万时，只实际测试了Ramanujan、Chudnovsky两种最快的方法（其10万位耗时在2秒左右，预测其计算100万位耗时约为几分钟）；表中的计算时间单位为秒，该时间不包括最终结果转化为10进制及打印输出的时间。同时，该耗时为在未进行并发优化的单线程模式下的运行时间。

Method

类别

方法

选项

10万

100万

1000万

1

Taylor级数

类Machin公式

P2B3

1.6

26

-

累加

11.4

-

-

2

P2B3

2.0

31

-

累加

9.0

-

-

3

P2B3

1.8

25

-

累加

7.7

-

-

4

P2B3

2.1

31

-

累加

12.4

-

-

5

P2B3

1.7

26

-

累加

8.9

-

-

6

P2B3

2.1

27

-

累加

8.6

-

-

7

P2B3

2.0

28

-

累加

8.8

-

-

10

BBP分数级数

BBP(16)

P2B3

4.3

63

-

累加

54.7

-

-

11

Fabrice Bellard(1024)

P2B3

3.1

55

-

累加

38.9

-

-

12

BBP(256)

P2B3

2.6

46

-

累加

55.7

-

-

13

BBP(256)

P2B3

2.5

47

-

累加

58.6

-

-

14

BBP(4096)

P2B3

2.6

44

-

累加

57.1

-

-

15

BBP(4096)

P2B3

3.9

67

-

累加

76.3

-

-

16

BBP(65536)

P2B3

3.3

50

-

累加

56.8

-

-

20

阶乘级数

Ramanujan

P2B3

0.7

11

214

累加

2.3
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