算法导论程序38--最长公共子序列（Python）

最新推荐文章于 2024-05-06 19:18:27 发布

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本文介绍了最长公共子序列(LCS)问题的概念及其实现方法，包括如何通过动态规划高效求解LCS问题，并给出具体实例。

最长公共子序列问题：

S1=ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA

S2=GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA

相似度的衡量：

寻找第三个串S3,它的所有碱基也都出现在S1和S2中，且在三个串中出现的顺序都相同，但在S1和S2中不要求连续出现。可以找到的S3越长，就可以认为S1和S2的相似度越高。

S3=GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA

一个给定序列的子序列，就是将给定的序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。

其形式化定义如下：给定一个序列X=<x1，x2,....,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,...zk>满足如下条件时称为X的子序列。即存在严格递增的X的下标序列

给定两个序列X和Y，如果Z既是X的子序列，也是Y的子序列，我们称它是X和Y的公共子序列。

最长公共子序列问题（longest-common-subsequence problem）：

给定两个序列X=<x1,x2,....,xm>和Y=<y1,y2,....,yn>，求X和Y长度最长的公共子序列。本节将展示如何用动态规划方法高效地求解LCS问题。

与矩阵链乘法问题相似：设计LCS问题的递归算法首先要建立最优解的递归式。

我们定义C[i, j]表示Xi和Yj的LCS的长度。

计算LCS的长度：

过程LCS-LENGTH接受两个序列X=<x1,x2,...,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>为输入，它将c[i, j]的值保存在表c[0..m 0..n]中，并按行主次序计算表项。过程还维护一个表b[1..m 1..n]帮助构造最优解。b[i, j]指向的表项对应计算c[i, j]时所选择的子问题最优解。过程返回表b和表c，c[m , n]保存了X和Y的LCS的长度。

def lcs_length(X,Y):
    m=len(X)
    n=len(Y)
    c=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(m+1)]
    b=[[" " for j in range(n+1)]for i in range(m+1)]
    for i in range(1,m+1):
        for j in range(1,n+1):
            if X[i-1]==Y[j-1]:
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1
                b[i][j]="left up"
            elif c[i-1][j]>=c[i][j-1]:
                c[i][j]=c[i-1][j]
                b[i][j]="up"
            else:
                c[i][j]=c[i][j-1]
                b[i][j]="left"
    return c,b 

def print_lcs(b,X,i,j):
    if i==0 or j==0:
        return
    if b[i][j]=="left up":
        print_lcs(b,X,i-1,j-1)
        print(X[i-1],end='')
    elif b[i][j]=="up":
        print_lcs(b,X,i-1,j)
    else:
        print_lcs(b,X,i,j-1)

if __name__=="__main__":
    X=["A","B","C","B","D","A","B"]
    Y=["B","D","C","A","B","A"]
    c,b=lcs_length(X,Y)
    for i in range(len(X)+1):
        for j in range(len(Y)+1):
            print(c[i][j],' ',end='')
        print()
    for i in range(len(X)+1):
        for j in range(len(Y)+1):
            print(b[i][j],' ',end='')
        print()  
    print_lcs(b,X,len(X),len(Y))

运行：

0  0  0  0  0  0  0  
0  0  0  0  1  1  1  
0  1  1  1  1  2  2  
0  1  1  2  2  2  2  
0  1  1  2  2  3  3  
0  1  2  2  2  3  3  
0  1  2  2  3  3  4  
0  1  2  2  3  4  4  
                     
   up  up  up  left up  left  left up  
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   up  up  up  left up  up  left up  
   left up  up  up  up  left up  up  
BCBA

过程的运行时间为O(m+n)，因为每次递归调用i和j至少有一个会减少1。