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本博客介绍了一个算法，用于计算给定两个自然数A和B时，A^B的所有因子之和，并对9901取余。涉及到整数的唯一分解定理、约数和公式以及同余模公式，通过分解A为素因子乘积，利用幂次运算和递归二分求和的方式，最终得到结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

题意：输入A与B，求A^B的因子之和对9901取余后的数。

知识点：

（1）整数的唯一分解定理：

任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn) 其中pi均为素数

（2）约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

A的所有因子之和为

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

计算方式：

（1）对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...

以此类推，直到A==1为止。

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.

故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

（2） A^B的所有约数之和为：

sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

（3）用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

1.若n为奇数,一共有偶数项，则：

1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))

= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式。

2.若n为偶数,一共有奇数项,则:

1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)

= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

（4）反复平方法计算幂次式p^n

这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

以p=2，n=8为例

常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

这样做的要做8次乘法

而反复平方法则不同，

定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4 ，n取半 n=4

n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16 ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256 ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2 ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

Sample Input

2 3

Sample Output

Hint

2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

<span style="font-size: 18pt;">#include <cstdio>
#define ll long long
#define mod 9901
using namespace std;
ll pows(ll a,ll b)                     //反复平方法计算幂次式p^n
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2)                           //b是奇数的情况下要再额外乘以一个a
            ans=(ans*a)%mod;
        a=a*a%mod;                 //a平方
        b/=2;                              //幂数折半
    }
    return ans;
}
ll sum(ll p,ll k)
{
    if(k==0)
        return 1;
    if(k%2)                   //k是奇数情况下的递归求和
        return (sum(p,k/2)*(1+pows(p,k/2+1)))%mod;
    else                        //k是偶数情况下的递归求和
        return (sum(p,k/2-1)*(1+pows(p,k/2+1))+pows(p,k/2))%mod;
}
int main()
{
    ll a,b;
    while(~scanf("%lld %lld",&a,&b))
    {
        ll ans=1,p=2;
        while(p*p<=a)           //枚举所有的素数
        {
            ll cnt=0;
            while(a%p==0)
            {
                cnt++;                //累加该素数p 的个数
                a/=p;
            }
            if(cnt)
                ans=(ans*sum(p,cnt*b))%mod;
            p++;
        }
        if(a!=1)               //a不能再被分解且此时还不是1
            ans=(ans*sum(a,b))%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}</span>