二叉树的个数

最新推荐文章于 2024-11-01 14:11:04 发布

卿与

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分类专栏：数论文章标签： c++ 算法图论

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给定节点数n的二叉树，如果其中序遍历是单调递增的，文章探讨了这类二叉树可能的形状数量。提供了两种解决方案，一种基于动态规划，时间复杂度为O(N^2)，另一种利用卡塔兰数的递推关系，时间复杂度为O(N)。并给出了相应的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二叉树的个数

描述

已知一棵节点个数为 n 的二叉树的中序遍历单调递增, 求该二叉树能能有多少种树形, 输出答案对 109 +7 取模

数据范围：1≤n≤3000

示例1

输入：

输出：

示例2

输入：

输出：

示例3

输入：

输出：

题解1

时间复杂度： $O(N^2)$
空间复杂度： $O (N)$

计 $f (n)$ 表示节点数为 $n$ 的所有二叉树的形状数。显然 $f (0) = 1, f (1) = 1$ , $f (2) = 2$ 。
当树的节点为 3 时，我们以根节点的左右子树的节点数量求解，可分为：

左子树2节点，右子树0节点；得到的情况数为 $f (2) * f (0)$
左子树1节点，右子树1节点；得到的情况数为 $f (1) * f (1)$
左子树0节点，右子树2节点；得到的情况数为 $f (0) * f (2)$
一般地： $\sum_{i=0}^{n-1} f(i)*f(n-i-1)$ 。

代码


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long f[3003];
long long mod = 1000000007;

long long numberOfTree(int n) {
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0] = 1ll;
    f[1] = 1ll;
    f[2] = 2ll;
    for(int num = 3;num <=n; num++){
        long long ans = 0;
        for(int i = 0;i<num;i++){
            ans = (ans + f[i]*f[num-i-1]%mod) % mod;
        }
        f[num] = ans % mod;
    }
    return f[n];
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    long long ans = numberOfTree(n);
    cout<<ans;
    return 0;
}

题解2

时间复杂度： $O (N)$
空间复杂度： $O (1)$

如果你了解卡塔兰数的话，你就会发现我们的结果就是卡塔兰数。
他的递推关系式为： $f(n)*\frac{2(2n+1)}{n+2}, n>=0, f(0) = 1$ 。
由于数据较大，我们又要取模还有除法，我么需要使用逆元，即为 $in v (N)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const static long long MOD = 1000000007; 

int numberOfTree(int n) {

    std::vector<long long> arr(n + 1), inv(n + 2);
    arr[0] = arr[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    inv[2] = MOD - MOD / 2;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        inv[i + 1] = (MOD - MOD / (i + 1)) * inv[MOD % (i + 1)] % MOD;
        arr[i] = arr[i - 1] * (4 * i - 2) % MOD * inv[i + 1] % MOD;
    }
    return arr.back();
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    long long ans = numberOfTree(n);
    cout<<ans;
    return 0;
}