Graph Diffusion Convolution

### 图扩散卷积的理论基础 图扩散卷积(Graph Diffusion Convolution, GDC)是一种改进传统图卷积网络的方法,旨在解决图结构数据中的过平滑问题并增强模型表达能力。通过引入基于热核或个性化PageRank的概率传播过程来重新定义邻接矩阵[^1]。 具体来说,在原始图上构建一个加权无向图 \(G=(V,E)\),其中节点集表示实体而边权重反映两两之间关联强度。对于每一对顶点 \((i,j)\in V\times V\) ,计算它们之间的转移概率: \[ p_{ij}=\frac{w_{ij}}{\sum_k w_{ik}},\] 这里 \(w_{ij}\) 表示连接 i 和 j 的边上的初始权重。接着应用指数衰减因子得到最终用于更新特征表示的新邻接关系矩阵 A' : \[A'=D^{-\alpha}(W+I)D^{(1-\alpha)},\] 在这个公式里 D 是度数对角阵;\( W+I \) 则代表自环加入后的原生邻接表征;参数 α 控制着信息沿路径传递的速度与范围。 ### 实现方法概述 为了实现上述提到的图扩散卷积操作,可以采用如下 Python 代码片段作为指导框架之一: ```python import numpy as np from scipy.sparse import diags, csr_matrix def compute_diffusion_adjacency(adj_mat, alpha=0.15): """ 计算给定邻接矩阵下的扩散邻接矩阵 参数: adj_mat (numpy.ndarray): 原始未标准化的邻接矩阵. alpha (float): 扩散系数,默认值为0.15. 返回: diffused_adj (scipy.sparse.csr_matrix): 扩散处理过的稀疏邻接矩阵. """ n_nodes = adj_mat.shape[0] # 添加单位矩阵以考虑自循环 adj_with_self_loops = adj_mat + np.eye(n_nodes) # 构建度矩阵及其逆α次幂形式 degrees = np.array(adj_with_self_loops.sum(axis=-1)).flatten() inv_degrees_alpha = diags(degrees ** (-alpha)) # 应用扩散变换 diffused_adj = inv_degrees_alpha @ adj_with_self_loops @ \ diags(degrees**(1-alpha)) return csr_matrix(diffused_adj) if __name__ == "__main__": # 创建简单的测试案例 test_adj = np.array([[0., 1., 0.], [1., 0., 1.], [0., 1., 0.]]) result = compute_diffusion_adjacency(test_adj) print(result.toarray()) ``` 此段程序展示了如何利用 NumPy 及 SciPy 工具包有效地执行图扩散卷积运算,并将其应用于任意输入图形的数据预处理阶段中去。
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