素数定理π(x)

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#算法

素数定理：以π(x)表示不超过x的素数的个数，那么
在这里插入图片描述

或者，等价表示为：第n个素数满足下式：
在这里插入图片描述
1896年，阿达马（即雅克·所罗门·阿达马，Jacques Solomon Hadamard，1865年－1963年）和德·拉·瓦莱布桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）按照波恩哈德·黎曼（B. Riemann）的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理。

解析数论基础：2，算术数列中的素数定理
AI天才研究院
07-04 714
在数学的广阔领域中，数论是一个古老且深邃的分支，它探讨的是整数及其性质。算术数列是整数序列的一种基本形式，其中相邻两项之间的差保持恒定。例如，13571357是一个公差为2的算术数列。数论中的一个核心问题是理解这些序列中的质数分布情况，即在任意算术数列中，质数出现的频率和规律。设aaa为算术数列的第一项，ddd为公差，则任意一项nnn可以表示为anda + ndand。考虑特定情况下，我们关注的是哪些项是质数。素数定理表明，对于任意正整数xxx，在区间x2x。
第一个接受素数定理的人
howard2005的专栏
07-17 695
第一个接受素数定理（PNT）的是高斯，他1777年到1855年在世。他完全可以被称为历史上最伟大的数学家。
素数的计数
qq_39378221的博客
10-21 1974
文章目录1 素数定理 1 素数定理   我们已经知道有无穷多个素数，也知道有无穷多个合数。那到底哪个数多呢？我们可以通过计数函数来比较它们。   素数的计数函数被称为π(x)\pi(x)π(x)，这里的π\piπ是“prime”的缩写。 ...
【小组专题四：素数】pi(x)，狄利克雷关于等差数列中素数定理，梅森素数，素数证明
溢流眼泪的博客
09-25 1699
小组专题四 ： 素数 整除的课后习题 求不超过1000且不能被3或5整除的正整数的个数 求不超过1000且不能被3和5整除的正整数的个数 3.1 素数 素数的定义： 素数是大于 111 的正整数，并且除了 111 和它本身外不能被其他正整数所整除。 合数的定义： 大于 111 的不是素数的正整数称为合数。 素数的无限性 引理 3.13.13.1 每一个大于 111 的一个正整数都有一个素因子。 反证法：假设存在一个大于 111 的正整数没有素因子，那么大于 111 且没有素因
素数计数函数$\pi(x)\sim \Theta(\frac{x}{\log{x}})$的一个初等方法——素数定理的估计...
weixin_30685029的博客
02-06 399
$\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}$ 本文的方法来源于GTM 190:"Problems in Algebraic Number Theory",给出了$\pi(x)\sim \Theta(\frac{x}{\log{x}})$的证明。以下使用的$p$隐含了$p$是素数的条件。 1. $\pi(x)\ge \frac{x\log{2}}{2\log{x}...
【数论】-素数问题整理
weixin_30597269的博客
09-19 389
1.素数定理:π(x)~x/ln(x) 其中π(x)是不超过x的范围中素数的个数，当x非常大时，π(x)与x/ln(x)比较接近。 2.埃拉托色尼筛法 应用：可以快速找到[2, n]内所有的素数。操作步骤如下： （1）输出最小的素数2，然后筛掉2的倍数 （2）输出最小的素数3，然后筛掉3的倍数 （3）输出最小的素数5，然后筛掉5的倍数 继续以上步骤，直到操作到n 例题：...
tf.einsum—爱因斯坦求和约定
欢迎来到打不死的小强的专栏
04-08 8260
1. einsum记法 如果你像我一样，发现记住PyTorch/TensorFlow中那些计算点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法的函数名字和签名很费劲，那么einsum记法就是我们的救星。einsum记法是一个表达以上这些运算，包括复杂张量运算在内的优雅方式，基本上，可以把einsum看成一种领域特定语言。一旦你理解并能利用einsum，除了不用记忆和频繁查找特定库函数这个好处...
素数定理的一个初等证明
12-30
定理的一个关键内容是给出了小于或等于给定数N的素数数量π(N)与N的对数之间的渐近关系，即π(N)~N/log(N)，其中“~”表示两边的数量级是相同的，即它们的比值趋近于一个常数。 埃塔筛法是一种用于筛选素数的方法，...
《素数定理的初等证明》潘承洞,潘承彪著
06-30
更精确地说，该定理说明了素数个数π(n)与函数n/log(n)之比随着n的增大而趋于1。这是数论中一个非常重要的结果，为理解和研究素数提供了基础框架。 潘承洞与潘承彪是两位知名的数学家，他们合著的《素数定理的初等...
信息安全数学基础（10）素数定理
最新发布
m0_73399576的博客
09-13 910
信息安全数学基础——素数定理篇
pi() 函数
冷月醉雪的博客
03-26 3910
查看更多 https://www.yuque.com/docs/share/641475f3-038b-4e5d-83e8-85ee029267f5
数论-素数筛
辣条不爱辣的博客
10-28 201
有时候我们需要判断大量的数是否是素数，如果一个一个的判断时间效率太低了，怎么办呢？ 我们需要学会用Eratosthenes筛法构造1-n的素数表。 输入：整数n。 输出：1-n的所有素数。 运行结果： 筛法的思想特别简单：对于不超过n的每个非负整数p，删除2p，3p，4p，...，当处理完所有数之后，还没有被删除的就是素数。如果用vis[i]表示i已经被删除，筛法的代码可以写成： ...
java中开根号是什么函数_这真的是素数的公式！但没有什么卵用！
weixin_39588419的博客
11-21 301
愚人节期间，我们哆嗒和往年一样，发了一篇愚人节的整蛊文章《素数公式发现，所有数学之谜即将揭开》，没想到大家和我们一起玩的很嗨，真是一个欢乐的愚人节。文章中我们写出了下面这样一个公式，并说它是第n个素数p(n)的表达式：文章还专门解释了方括号[x]是取整函数，p!表示阶乘，并规定0! = 1。欢乐归欢乐，因为愚人节的关系很少有人注意到我们贴出的公式本身是不是对的。在这里，我们哆嗒数学网的小编负责人的...
筛法求素数c语言详解_不超过x的素数个数
weixin_39989949的博客
11-20 597
表示不超过 的素数个数。容易看出可以在 时间复杂度， 空间复杂度离线预处理求出小于 的素数全体。但是如果 或者更大，这种做法必然是不现实的。因此下面给出高效的求解方法... 表示不超过 且能不能被前个素数整除的正整数个数。显然我们有我们知道一个数 是素数当且仅当不存在素数 使得 。因此当 时，2. 设 为不超过 且每个素因子都大于 且素因子(按重根计)个数为 的整数个数（方法...
SAS概念知识点 （复习1）
dfhby0的博客
01-04 1万+
概念部分 作业一： g) SAS语句通常以一个关键字开头。每一个SAS语句都以分号结尾。可以使用 contents过程查看SAS 数据集的描述部分。字符型变量长度最多能有 32767 字符长，并且每个字符使用 1 个字节存储。 h) 默认情况下，数值型变量存储为8 个字节。日期1960年1月3日数据值是2。 i) 一个SAS变量名有 1 到 3...
吉林大学软件学院期末题答案（10-16级）
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proper的学习博客
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2016级A卷 1.编写函数并画出对应的PAD，将整形数组a中的所有元素逆序存放。函数声明为：void rev(int a[ ],int n) void rev(int a[ ],int n) { int left = 0, right = n - 1; while(left < right) { int temp = a[left]; a[left] = a[right]; a[right] = temp; left++; right--; } } void rev(in
NOIP复赛复习（十二）数论算法巩固与提高
dqcsm1964的博客
11-05 1180
一、数论    1.数   整数、自然数（大于等于0的整数）、正整数（大于0的整数）、负整数、非负整数、非正整数、非零整数、奇数偶数。   2.整除性   设a,b∈Z，如果存在c∈Z并且a=bc，则称b|a（b为a的因子，“|”表示“能整除”）   3.质数   如果一个数，只有1和自身作为因子的数，叫做质数（素数）。
一些有用的数学结论(持续更新)
C2022lihan的博客
10-06 1224
1.染色问题 （1）.环染色问题 ①公式： f(m)=(−1)m∗(n−1)+(n−1)mf(m)=(-1)^m*(n-1)+(n-1)^mf(m)=(−1)m∗(n−1)+(n−1)m ②证明：
数学结论或公式
nofuck的博客
02-15 287
目录数学定理规律 持续更新 数学定理 1.(p-1)! (= =) -1(mod p) p为质数 (p-1)! + 1 = p*k; (p-1)! (= =) p-1(mod p) (p-2)! (= =) 1 (mod p) 2.素数定理： 设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。 规律 1.gcd(fib(x),f...
利用matlab验证素数定理
11-23
素数定理是一个数论中的重要定理，它指出在一个正整数n趋向无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)的渐进行为是接近于n/ln(n)。 要利用MATLAB验证素数定理，可以按照以下步骤进行： 1. 编写一个用于判断一个数是否为素数的函数isPrime(n)。该函数可以采用试除法或者其他适当的素数判断算法来判断一个数是否为素数。 2. 在主程序中，设定一个大于某个整数n的上限m，根据素数定理的表达式n/ln(n)计算出π(n)的理论值，即theoreticalCount = n/log(n)。 3. 在一个循环中，从n=2开始逐个判断n是否为素数，如果是素数，则计数变量count加一。 4. 当n超过m时，跳出循环。 5. 最后得到的count即为小于等于m的素数的个数。 6. 比较theoreticalCount与count的值，如果它们之间差别较小，则说明MATLAB的实际验证结果接近于理论值。 下面是一个简单的MATLAB代码示例： ```matlab function result = isPrime(n) result = true; for i = 2:sqrt(n) if mod(n, i) == 0 result = false; break; end end end n = 2; m = 1000; count = 0; while n <= m if isPrime(n) count = count + 1; end n = n + 1; end theoreticalCount = m/log(m); disp(['Theoretical count: ', num2str(theoreticalCount)]); disp(['Actual count: ', num2str(count)]); ``` 通过运行这段代码，可以验证在m=1000时的结果。根据素数定理，theoreticalCount的值应该接近于144，而运行结果的count也应该接近于144。如果它们之间的差别比较小，就说明MATLAB的验证结果与素数定理是相符的。
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