USACO算法系列九——kimbits

最新推荐文章于 2019-02-25 22:01:00 发布

无能所以愤怒

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分类专栏： USACO算法系列文章标签：算法测试

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本文介绍了一种使用分支限界法来解决寻找特定长度且最多包含K个1的二进制串的最小第I个数的问题。通过将二进制串视为二叉树的叶子节点，并采用前序遍历方式，该方法实现了高效的搜索过程。通过剪枝技术，避免了不必要的计算，显著提高了算法效率。经过USACO测试，证明了此方法的有效性和高效率。

题目：http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/kimbits

求出可以用<=K个1表示的长度为N的二进制串的最小的第I个数。又是01字符串，最先想到方法是遍历1~2^N-1的自然数，如果其中包含1的个数<=K个1表示，则计数加1，直到I为止。但是想想2^31次方可以表示接近2 0000000000的整数，肯定会超时的。

如果把二进制串当作二叉树的叶子节点，然后采用前序遍历的方式对二叉树进行遍历，往左边走，1的个数不变，往右边走，1的个数加1，满足条件的叶子节点，计数器加1，同时对二叉树进行剪枝。

（1）当1的个数>K的子树，可以剪枝。

（2）当K - 1的个数 >= N - 深度，证明剩下的位数可以从全0到全1排满，而此时如果计数器 + 2 ^ （N - 深度） < I，则计数器直接+ 2 ^ （N - 深度），跳过这个子树。这一步是很关键的。

（3）如果N <= K，第I小的数为I-1

（4）如果I <= 2^K -1，则最小数为 I -1

上面四个剪枝，前两个最为关键，代码如下：

#include <iostream> #include <fstream> using namespace std; int n,l, index; int result = 0; int length =0; ifstream fin("kimbits.in"); ofstream fout("kimbits.out"); //分支限界 //num:数值bits:位数 one:1的个数 bool kimbits(int num, int bits, int one ) { //截肢 if(one > l) { return false; } //加速 if (l-one >= n-bits) { int k = 1 << (n - bits); if (k + length < index) { length += k; return false; } } if (bits == n || one == l) { length ++; result = num << (n - bits); if (length == index) { result = num << (n - bits); return true; } return false; } else { if (kimbits((num<<1),bits+1,one)) { return true; } if (kimbits((num<<1) | 1, bits+1, one+1)) { return true; } return false; } } void printResult(int r) { for (int i=0; i < n; i ++) { int temp = r >> (n-1-i); fout << (temp & 1); } fout << endl; } int main() { fin >> n >> l >> index; int start = (1 << l); if (start >= index) { printResult(index -1); } else if (n == l) { printResult(index-1); } else { length = start; for(int i=l; i <n; i ++) { if (kimbits(1,n-i,1)) { break; } } printResult(result); } return 0; }

顺利通过了USACO的测试，速度还不错，测试结果如下：

Executing... Test 1: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 2: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 3: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 4: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 5: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 6: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 7: TEST OK [0.022 secs, 3012 KB] Test 8: TEST OK [0.022 secs, 3012 KB] Test 9: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 10: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 11: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 12: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 13: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] All tests OK.