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一、概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。（并不是像AVL树那样高度差一定不超过1）。最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍。
如下图就是一棵红黑树：
注：树的路径是从根节点走到NIL节点才算一条路径。
二、红黑树的性质
1、
每个结点不是红色就是黑色。
2、
根节点是黑色的。
3、
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。（没有连续的红色结点）
4、
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。
5、
每个叶子结点都是黑色的
(
此处的叶子结点指的是空结点）。
三、结点的实现
在结点的实现中，我们要需要一个变量来控制它的颜色，因此我们可以使用枚举来列出两种颜色，再在结点中定义颜色。
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv, Colour col = RED)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(col)
{}
};上面的代码我们在创建结点后，就直接将新节点的颜色默认设置成了红色，那么为什么要默认设置成红色，而不是黑色呢？
首先，如果我们插入黑色结点，将会违背性质4，因为某条路径上一定会多出一个黑色结点，这样就需要去调节所有路径的黑色结点，非常麻烦。
如果我们插入的是红色结点，那么我们就可能违背了性质3，因为如果新插入结点的父亲是黑色那么我们就不需要进行调整。
所以总的来说，新插入结点是红色，红黑树的结构维护起来更加方便。
四、红黑树的插入
一般步骤：
1、按照二叉搜索的树规则插入新节点（即：插入值与结点值比较，小于节点值就往左子树插入，反之往右子树插入）。
2、判断红黑树的结构是否被破坏：
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：（cur为当前结点，p为父亲结点，g为祖父结点，u为叔叔结点）。
* 情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
该情况的处理方式为：将P和U结点变黑，再将g变红。
如果g是根节点，调整完成后，要将g改为黑色，如果g是子树，那么如果g的双亲是红色，就需要
然后把g当成cur，
继续向上调整。
* 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，g/p/cur在同一侧
此时u的情况有两种：
1、如果u结点不存在，则cur一定是新增结点，因为如果cur不是新增结点：则cur和p一定有一个节点时黑色，就不满足每条路径都有相同的黑色结点的性质。
2、如果u结点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色，在其子树调整过程中变为了红色。
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋。p变为黑色，g变为红色。
* 情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，g/p/cur不在同一侧
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转 。旋转之后则转换成了情况二，再继续进行调整即可。
代码实现如下：
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED; //将新插入结点置成红色
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
assert(grandfather);
assert(grandfather->_col == BLACK);
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
// uncle 不存在 + 存在且为黑
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}五、完整代码
RBTree.h
#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv, Colour col = RED)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(col)
{}
};
template<class K, class V>
struct RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
assert(grandfather);
assert(grandfather->_col == BLACK);
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
// uncle 不存在 + 存在且为黑
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void RotateL(Node* parent) //左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* pparent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subR;
else
pparent->_right = subR;
subR->_parent = pparent;
}
}
void RotateR(Node* parent) //右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subL;
else
pparent->_right = subL;
subL->_parent = pparent;
}
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void test()
{
int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
RBTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.insert(make_pair(e, e));
}
t.InOrder();
}test.cpp
#include"RBTree.h"
int main()
{
test();
return 0;
}运行结果：
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